{l}{0.5x+0.7y=35}{x+0.4y=40} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.5 x + 0.7 y = 35 } \\ { x + 0.4 y = 40 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=28$$

$$y=30$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$0.5x+0.7y=35$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{7y}{10} वजा करा.

$$0.5x=-0.7y+35$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$x=2\left(-0.7y+35\right)$$

-\frac{7y}{10}+35 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-1.4y+70$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{7y}{5}+70 चा विकल्प वापरा, x+0.4y=40.

$$-1.4y+70+0.4y=40$$

-\frac{7y}{5} ते \frac{2y}{5} जोडा.

$$-y+70=40$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 70 वजा करा.

$$-y=-30$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=30$$

x=-1.4y+70 मध्ये y साठी 30 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-1.4\times 30+70$$

30 ला -1.4 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-42+70$$

70 ते -42 जोडा.

$$x=28$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=28,y=30$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.4}{0.5\times 0.4-0.7}&-\frac{0.7}{0.5\times 0.4-0.7}\\-\frac{1}{0.5\times 0.4-0.7}&\frac{0.5}{0.5\times 0.4-0.7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8&1.4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8\times 35+1.4\times 40\\2\times 35-40\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\30\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=28,y=30$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

\frac{x}{2} आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 0.5 ने गुणाकार करा.

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.5\times 0.4y=0.5\times 40$$

सरलीकृत करा.

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.2y=20$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 0.5x+0.7y=35 मधून 0.5x+0.2y=20 वजा करा.

$$0.5x-0.5x+0.7y-0.2y=35-20$$

\frac{x}{2} ते -\frac{x}{2} जोडा. \frac{x}{2} आणि -\frac{x}{2} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$0.7y-0.2y=35-20$$

\frac{7y}{10} ते -\frac{y}{5} जोडा.

$$0.5y=35-20$$

35 ते -20 जोडा.

$$0.5y=15$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$y=30$$

x+0.4y=40 मध्ये y साठी 30 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+0.4\times 30=40$$

30 ला 0.4 वेळा गुणाकार करा.

$$x+12=40$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 12 वजा करा.

$$x=28$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=28,y=30$$