{l}{0.3x-0.5y=29}{0.9x=0.2y+19} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.3 x - 0.5 y = 29 } \\ { 0.9 x = 0.2 y + 19 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{370}{39} = 9\frac{19}{39} \approx 9.487179487$$

$$y = -\frac{680}{13} = -52\frac{4}{13} \approx -52.307692308$$

विकल्प वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 0.2y वजा करा.

$$0.9x-0.2y=19$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$0.3x-0.5y=29$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{y}{2} जोडा.

$$0.3x=0.5y+29$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 0.3 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=\frac{10}{3}\left(0.5y+29\right)$$

\frac{y}{2}+29 ला \frac{10}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{5y+290}{3} चा विकल्प वापरा, 0.9x-0.2y=19.

$$0.9\left(\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}\right)-0.2y=19$$

\frac{5y+290}{3} ला 0.9 वेळा गुणाकार करा.

$$1.5y+87-0.2y=19$$

\frac{3y}{2} ते -\frac{y}{5} जोडा.

$$1.3y+87=19$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 87 वजा करा.

$$1.3y=-68$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 1.3 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{680}{13}$$

x=\frac{5}{3}y+\frac{290}{3} मध्ये y साठी -\frac{680}{13} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{680}{13}\right)+\frac{290}{3}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{680}{13} चा \frac{5}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{3400}{39}+\frac{290}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{290}{3} ते -\frac{3400}{39} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{370}{39}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 0.2y वजा करा.

$$0.9x-0.2y=19$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}&-\frac{-0.5}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}\\-\frac{0.9}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}&\frac{0.3}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{39}&\frac{50}{39}\\-\frac{30}{13}&\frac{10}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{39}\times 29+\frac{50}{39}\times 19\\-\frac{30}{13}\times 29+\frac{10}{13}\times 19\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{370}{39}\\-\frac{680}{13}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$

निष्कासन वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 0.2y वजा करा.

$$0.9x-0.2y=19$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

\frac{3x}{10} आणि \frac{9x}{10} समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 0.9 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 0.3 ने गुणाकार करा.

$$0.9\times 0.3x+0.9\left(-0.5\right)y=0.9\times 29,0.3\times 0.9x+0.3\left(-0.2\right)y=0.3\times 19$$

सरलीकृत करा.

$$0.27x-0.45y=26.1,0.27x-0.06y=5.7$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 0.27x-0.45y=26.1 मधून 0.27x-0.06y=5.7 वजा करा.

$$0.27x-0.27x-0.45y+0.06y=\frac{261-57}{10}$$

\frac{27x}{100} ते -\frac{27x}{100} जोडा. \frac{27x}{100} आणि -\frac{27x}{100} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-0.45y+0.06y=\frac{261-57}{10}$$

-\frac{9y}{20} ते \frac{3y}{50} जोडा.

$$-0.39y=\frac{261-57}{10}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून 26.1 ते -5.7 जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$-0.39y=20.4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -0.39 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{680}{13}$$

0.9x-0.2y=19 मध्ये y साठी -\frac{680}{13} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$0.9x-0.2\left(-\frac{680}{13}\right)=19$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{680}{13} चा -0.2 वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$0.9x+\frac{136}{13}=19$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{136}{13} वजा करा.

$$0.9x=\frac{111}{13}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 0.9 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=\frac{370}{39}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$