{l}{0.07r+0.02t=0.16}{0.05r-0.03t=0.21} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.07 r + 0.02 t = 0.16 } \\ { 0.05 r - 0.03 t = 0.21 } \end{array} \right.$$

r, t साठी सोडवा

$$r = \frac{90}{31} = 2\frac{28}{31} \approx 2.903225806$$

$$t = -\frac{67}{31} = -2\frac{5}{31} \approx -2.161290323$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला r विलग करून, r साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$0.07r+0.02t=0.16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{t}{50} वजा करा.

$$0.07r=-0.02t+0.16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 0.07 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$r=\frac{100}{7}\left(-0.02t+0.16\right)$$

-\frac{t}{50}+0.16 ला \frac{100}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}$$

इतर समीकरणामध्ये r साठी \frac{-2t+16}{7} चा विकल्प वापरा, 0.05r-0.03t=0.21.

$$0.05\left(-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}\right)-0.03t=0.21$$

\frac{-2t+16}{7} ला 0.05 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{1}{70}t+\frac{4}{35}-0.03t=0.21$$

-\frac{t}{70} ते -\frac{3t}{100} जोडा.

$$-\frac{31}{700}t+\frac{4}{35}=0.21$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{4}{35} वजा करा.

$$-\frac{31}{700}t=\frac{67}{700}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{31}{700} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$t=-\frac{67}{31}$$

r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7} मध्ये t साठी -\frac{67}{31} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण r साठी थेट सोडवू शकता.

$$r=-\frac{2}{7}\left(-\frac{67}{31}\right)+\frac{16}{7}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{67}{31} चा -\frac{2}{7} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$r=\frac{134}{217}+\frac{16}{7}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{16}{7} ते \frac{134}{217} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$r=\frac{90}{31}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.03}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&-\frac{0.02}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\\-\frac{0.05}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&\frac{0.07}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}&\frac{200}{31}\\\frac{500}{31}&-\frac{700}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}\times 0.16+\frac{200}{31}\times 0.21\\\frac{500}{31}\times 0.16-\frac{700}{31}\times 0.21\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{90}{31}\\-\frac{67}{31}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे r आणि t घटक बाहेर काढा.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

\frac{7r}{100} आणि \frac{r}{20} समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 0.05 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 0.07 ने गुणाकार करा.

$$0.05\times 0.07r+0.05\times 0.02t=0.05\times 0.16,0.07\times 0.05r+0.07\left(-0.03\right)t=0.07\times 0.21$$

सरलीकृत करा.

$$0.0035r+0.001t=0.008,0.0035r-0.0021t=0.0147$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 0.0035r+0.001t=0.008 मधून 0.0035r-0.0021t=0.0147 वजा करा.

$$0.0035r-0.0035r+0.001t+0.0021t=0.008-0.0147$$

\frac{7r}{2000} ते -\frac{7r}{2000} जोडा. \frac{7r}{2000} आणि -\frac{7r}{2000} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$0.001t+0.0021t=0.008-0.0147$$

\frac{t}{1000} ते \frac{21t}{10000} जोडा.

$$0.0031t=0.008-0.0147$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून 0.008 ते -0.0147 जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$0.0031t=-0.0067$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 0.0031 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$t=-\frac{67}{31}$$

0.05r-0.03t=0.21 मध्ये t साठी -\frac{67}{31} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण r साठी थेट सोडवू शकता.

$$0.05r-0.03\left(-\frac{67}{31}\right)=0.21$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{67}{31} चा -0.03 वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$0.05r+\frac{201}{3100}=0.21$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{201}{3100} वजा करा.

$$0.05r=\frac{9}{62}$$

दोन्ही बाजूंना 20 ने गुणाकार करा.

$$r=\frac{90}{31}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$