{l}{0,6x+2y=20}{(2)-4x+y=-1} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0,6 x + 2 y = 20 } \\ { ( 2 ) - 4 x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{130}{43} = 3\frac{1}{43} \approx 3.023255814$$

$$y = \frac{391}{43} = 9\frac{4}{43} \approx 9.093023256$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$0.6x+2y=20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$0.6x=-2y+20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 0.6 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=\frac{5}{3}\left(-2y+20\right)$$

-2y+20 ला \frac{5}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-10y+100}{3} चा विकल्प वापरा, -4x+y+2=-1.

$$-4\left(-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}\right)+y+2=-1$$

\frac{-10y+100}{3} ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{40}{3}y-\frac{400}{3}+y+2=-1$$

\frac{40y}{3} ते y जोडा.

$$\frac{43}{3}y-\frac{400}{3}+2=-1$$

-\frac{400}{3} ते 2 जोडा.

$$\frac{43}{3}y-\frac{394}{3}=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{394}{3} जोडा.

$$\frac{43}{3}y=\frac{391}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{43}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{391}{43}$$

x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3} मध्ये y साठी \frac{391}{43} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{10}{3}\times \frac{391}{43}+\frac{100}{3}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{391}{43} चा -\frac{10}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{3910}{129}+\frac{100}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{100}{3} ते -\frac{3910}{129} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{130}{43}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0.6-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{0.6-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{0.6-2\left(-4\right)}&\frac{0.6}{0.6-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}&-\frac{10}{43}\\\frac{20}{43}&\frac{3}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}\times 20-\frac{10}{43}\left(-3\right)\\\frac{20}{43}\times 20+\frac{3}{43}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{130}{43}\\\frac{391}{43}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

\frac{3x}{5} आणि -4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 0.6 ने गुणाकार करा.

$$-4\times 0.6x-4\times 2y=-4\times 20,0.6\left(-4\right)x+0.6y+0.6\times 2=0.6\left(-1\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-2.4x-8y=-80,-2.4x+0.6y+1.2=-0.6$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -2.4x-8y=-80 मधून -2.4x+0.6y+1.2=-0.6 वजा करा.

$$-2.4x+2.4x-8y-0.6y-1.2=-80+0.6$$

-\frac{12x}{5} ते \frac{12x}{5} जोडा. -\frac{12x}{5} आणि \frac{12x}{5} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-8y-0.6y-1.2=-80+0.6$$

-8y ते -\frac{3y}{5} जोडा.

$$-8.6y-1.2=-80+0.6$$

-80 ते 0.6 जोडा.

$$-8.6y-1.2=-79.4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 1.2 जोडा.

$$-8.6y=-78.2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -8.6 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{391}{43}$$

-4x+y+2=-1 मध्ये y साठी \frac{391}{43} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-4x+\frac{391}{43}+2=-1$$

\frac{391}{43} ते 2 जोडा.

$$-4x+\frac{477}{43}=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{477}{43} वजा करा.

$$-4x=-\frac{520}{43}$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$x=\frac{130}{43}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$