{l}{0,2x-0,3(2y+1)=1,5}{3(x+1)+3y=2y-2} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0,2 x - 0,3 ( 2 y + 1 ) = 1,5 } \\ { 3 ( x + 1 ) + 3 y = 2 y - 2 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-0.6$$

$$y=-3.2$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. -0.3 ला 2y+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$0.2x-0.6y-0.3=1.5$$

दोन्ही बाजूंना 0.3 जोडा.

$$0.2x-0.6y=1.5+0.3$$

1.8 मिळविण्यासाठी 1.5 आणि 0.3 जोडा.

$$0.2x-0.6y=1.8$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+3+3y=2y-2$$

दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$3x+3+3y-2y=-2$$

y मिळविण्यासाठी 3y आणि -2y एकत्र करा.

$$3x+3+y=-2$$

दोन्ही बाजूंकडून 3 वजा करा.

$$3x+y=-2-3$$

-5 मिळविण्यासाठी -2 मधून 3 वजा करा.

$$3x+y=-5$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$0.2x-0.6y=1.8,3x+y=-5$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$0.2x-0.6y=1.8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{3y}{5} जोडा.

$$0.2x=0.6y+1.8$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने गुणाकार करा.

$$x=5\left(0.6y+1.8\right)$$

\frac{3y+9}{5} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$x=3y+9$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी 9+3y चा विकल्प वापरा, 3x+y=-5.

$$3\left(3y+9\right)+y=-5$$

9+3y ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$9y+27+y=-5$$

9y ते y जोडा.

$$10y+27=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 27 वजा करा.

$$10y=-32$$

दोन्ही बाजूंना 10 ने विभागा.

$$y=-\frac{16}{5}$$

x=3y+9 मध्ये y साठी -\frac{16}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=3\left(-\frac{16}{5}\right)+9$$

-\frac{16}{5} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{48}{5}+9$$

9 ते -\frac{48}{5} जोडा.

$$x=-\frac{3}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{3}{5},y=-\frac{16}{5}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. -0.3 ला 2y+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$0.2x-0.6y-0.3=1.5$$

दोन्ही बाजूंना 0.3 जोडा.

$$0.2x-0.6y=1.5+0.3$$

1.8 मिळविण्यासाठी 1.5 आणि 0.3 जोडा.

$$0.2x-0.6y=1.8$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+3+3y=2y-2$$

दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$3x+3+3y-2y=-2$$

y मिळविण्यासाठी 3y आणि -2y एकत्र करा.

$$3x+3+y=-2$$

दोन्ही बाजूंकडून 3 वजा करा.

$$3x+y=-2-3$$

-5 मिळविण्यासाठी -2 मधून 3 वजा करा.

$$3x+y=-5$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$0.2x-0.6y=1.8,3x+y=-5$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0.2-\left(-0.6\times 3\right)}&-\frac{-0.6}{0.2-\left(-0.6\times 3\right)}\\-\frac{3}{0.2-\left(-0.6\times 3\right)}&\frac{0.2}{0.2-\left(-0.6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{10}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 1.8+\frac{3}{10}\left(-5\right)\\-\frac{3}{2}\times 1.8+\frac{1}{10}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\-\frac{16}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{3}{5},y=-\frac{16}{5}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. -0.3 ला 2y+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$0.2x-0.6y-0.3=1.5$$

दोन्ही बाजूंना 0.3 जोडा.

$$0.2x-0.6y=1.5+0.3$$

1.8 मिळविण्यासाठी 1.5 आणि 0.3 जोडा.

$$0.2x-0.6y=1.8$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+3+3y=2y-2$$

दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$3x+3+3y-2y=-2$$

y मिळविण्यासाठी 3y आणि -2y एकत्र करा.

$$3x+3+y=-2$$

दोन्ही बाजूंकडून 3 वजा करा.

$$3x+y=-2-3$$

-5 मिळविण्यासाठी -2 मधून 3 वजा करा.

$$3x+y=-5$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$0.2x-0.6y=1.8,3x+y=-5$$

\frac{x}{5} आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 0.2 ने गुणाकार करा.

$$3\times 0.2x+3\left(-0.6\right)y=3\times 1.8,0.2\times 3x+0.2y=0.2\left(-5\right)$$

सरलीकृत करा.

$$0.6x-1.8y=5.4,0.6x+0.2y=-1$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 0.6x-1.8y=5.4 मधून 0.6x+0.2y=-1 वजा करा.

$$0.6x-0.6x-1.8y-0.2y=5.4+1$$

\frac{3x}{5} ते -\frac{3x}{5} जोडा. \frac{3x}{5} आणि -\frac{3x}{5} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-1.8y-0.2y=5.4+1$$

-\frac{9y}{5} ते -\frac{y}{5} जोडा.

$$-2y=5.4+1$$

5.4 ते 1 जोडा.

$$-2y=6.4$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$y=-\frac{16}{5}$$

3x+y=-5 मध्ये y साठी -\frac{16}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x-\frac{16}{5}=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{16}{5} जोडा.

$$3x=-\frac{9}{5}$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=-\frac{3}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{3}{5},y=-\frac{16}{5}$$