{l}{-x+3y=6}{x-7y=14} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 3 y = 6 } \\ { x - 7 y = 14 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-21$$

$$y=-5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-x+3y=6,x-7y=14$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-x+3y=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$-x=-3y+6$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$x=-\left(-3y+6\right)$$

-3y+6 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$x=3y-6$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -6+3y चा विकल्प वापरा, x-7y=14.

$$3y-6-7y=14$$

3y ते -7y जोडा.

$$-4y-6=14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 6 जोडा.

$$-4y=20$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$y=-5$$

x=3y-6 मध्ये y साठी -5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=3\left(-5\right)-6$$

-5 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-15-6$$

-6 ते -15 जोडा.

$$x=-21$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-21,y=-5$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-x+3y=6,x-7y=14$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-\left(-7\right)-3}&-\frac{3}{-\left(-7\right)-3}\\-\frac{1}{-\left(-7\right)-3}&-\frac{1}{-\left(-7\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4}\times 6-\frac{3}{4}\times 14\\-\frac{1}{4}\times 6-\frac{1}{4}\times 14\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-21\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-21,y=-5$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-x+3y=6,x-7y=14$$

-x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -1 ने गुणाकार करा.

$$-x+3y=6,-x-\left(-7y\right)=-14$$

सरलीकृत करा.

$$-x+3y=6,-x+7y=-14$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -x+3y=6 मधून -x+7y=-14 वजा करा.

$$-x+x+3y-7y=6+14$$

-x ते x जोडा. -x आणि x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$3y-7y=6+14$$

3y ते -7y जोडा.

$$-4y=6+14$$

6 ते 14 जोडा.

$$-4y=20$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$y=-5$$

x-7y=14 मध्ये y साठी -5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x-7\left(-5\right)=14$$

-5 ला -7 वेळा गुणाकार करा.

$$x+35=14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 35 वजा करा.

$$x=-21$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-21,y=-5$$