{l}{-4x-2y=-16}{7x-5y=11} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 4 x - 2 y = - 16 } \\ { 7 x - 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=3$$

$$y=2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-4x-2y=-16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2y जोडा.

$$-4x=2y-16$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{4}\left(2y-16\right)$$

-16+2y ला -\frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{2}y+4$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{y}{2}+4 चा विकल्प वापरा, 7x-5y=11.

$$7\left(-\frac{1}{2}y+4\right)-5y=11$$

-\frac{y}{2}+4 ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{7}{2}y+28-5y=11$$

-\frac{7y}{2} ते -5y जोडा.

$$-\frac{17}{2}y+28=11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 28 वजा करा.

$$-\frac{17}{2}y=-17$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{17}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=2$$

x=-\frac{1}{2}y+4 मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

2 ला -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-1+4$$

4 ते -1 जोडा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{4}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{34}&\frac{1}{17}\\-\frac{7}{34}&-\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{34}\left(-16\right)+\frac{1}{17}\times 11\\-\frac{7}{34}\left(-16\right)-\frac{2}{17}\times 11\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=3,y=2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

-4x आणि 7x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -4 ने गुणाकार करा.

$$7\left(-4\right)x+7\left(-2\right)y=7\left(-16\right),-4\times 7x-4\left(-5\right)y=-4\times 11$$

सरलीकृत करा.

$$-28x-14y=-112,-28x+20y=-44$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -28x-14y=-112 मधून -28x+20y=-44 वजा करा.

$$-28x+28x-14y-20y=-112+44$$

-28x ते 28x जोडा. -28x आणि 28x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-14y-20y=-112+44$$

-14y ते -20y जोडा.

$$-34y=-112+44$$

-112 ते 44 जोडा.

$$-34y=-68$$

दोन्ही बाजूंना -34 ने विभागा.

$$y=2$$

7x-5y=11 मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$7x-5\times 2=11$$

2 ला -5 वेळा गुणाकार करा.

$$7x-10=11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 10 जोडा.

$$7x=21$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=2$$