{l}{-10x+3y=-2}{4x-y=8} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 10 x + 3 y = - 2 } \\ { 4 x - y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=11$$

$$y=36$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-10x+3y=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$-10x=-3y-2$$

दोन्ही बाजूंना -10 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-3y-2\right)$$

-3y-2 ला -\frac{1}{10} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{3y}{10}+\frac{1}{5} चा विकल्प वापरा, 4x-y=8.

$$4\left(\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}\right)-y=8$$

\frac{3y}{10}+\frac{1}{5} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}-y=8$$

\frac{6y}{5} ते -y जोडा.

$$\frac{1}{5}y+\frac{4}{5}=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{4}{5} वजा करा.

$$\frac{1}{5}y=\frac{36}{5}$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने गुणाकार करा.

$$y=36$$

x=\frac{3}{10}y+\frac{1}{5} मध्ये y साठी 36 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{3}{10}\times 36+\frac{1}{5}$$

36 ला \frac{3}{10} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{54+1}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{5} ते \frac{54}{5} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=11$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=11,y=36$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-10\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{3}{-10\left(-1\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{-10\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{10}{-10\left(-1\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}\times 8\\2\left(-2\right)+5\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\36\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=11,y=36$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

-10x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -10 ने गुणाकार करा.

$$4\left(-10\right)x+4\times 3y=4\left(-2\right),-10\times 4x-10\left(-1\right)y=-10\times 8$$

सरलीकृत करा.

$$-40x+12y=-8,-40x+10y=-80$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -40x+12y=-8 मधून -40x+10y=-80 वजा करा.

$$-40x+40x+12y-10y=-8+80$$

-40x ते 40x जोडा. -40x आणि 40x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$12y-10y=-8+80$$

12y ते -10y जोडा.

$$2y=-8+80$$

-8 ते 80 जोडा.

$$2y=72$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=36$$

4x-y=8 मध्ये y साठी 36 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x-36=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 36 जोडा.

$$4x=44$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=11$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=11,y=36$$