{l}{-(-x-y)-4(y-x)=8}{3x-1+2(y+3)-5=20} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { - ( - x - y ) - 4 ( y - x ) = 8 } \\ { 3 x - 1 + 2 ( y + 3 ) - 5 = 20 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=4$$

$$y=4$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. -x-y च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

-4 ला y-x ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

-3y मिळविण्यासाठी y आणि -4y एकत्र करा.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

1 मिळविण्यासाठी -1 आणि -1 चा गुणाकार करा.

$$x-3y+4x=8$$

5x मिळविण्यासाठी x आणि 4x एकत्र करा.

$$5x-3y=8$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला y+3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

5 मिळविण्यासाठी -1 आणि 6 जोडा.

$$3x+5+2y-5=20$$

0 मिळविण्यासाठी 5 मधून 5 वजा करा.

$$3x+2y=20$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x-3y=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$5x=3y+8$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+8\right)$$

3y+8 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{3y+8}{5} चा विकल्प वापरा, 3x+2y=20.

$$3\left(\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}\right)+2y=20$$

\frac{3y+8}{5} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{9}{5}y+\frac{24}{5}+2y=20$$

\frac{9y}{5} ते 2y जोडा.

$$\frac{19}{5}y+\frac{24}{5}=20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{24}{5} वजा करा.

$$\frac{19}{5}y=\frac{76}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{19}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=4$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5} मध्ये y साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{3}{5}\times 4+\frac{8}{5}$$

4 ला \frac{3}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{12+8}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{8}{5} ते \frac{12}{5} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=4,y=4$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. -x-y च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

-4 ला y-x ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

-3y मिळविण्यासाठी y आणि -4y एकत्र करा.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

1 मिळविण्यासाठी -1 आणि -1 चा गुणाकार करा.

$$x-3y+4x=8$$

5x मिळविण्यासाठी x आणि 4x एकत्र करा.

$$5x-3y=8$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला y+3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

5 मिळविण्यासाठी -1 आणि 6 जोडा.

$$3x+5+2y-5=20$$

0 मिळविण्यासाठी 5 मधून 5 वजा करा.

$$3x+2y=20$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 8+\frac{3}{19}\times 20\\-\frac{3}{19}\times 8+\frac{5}{19}\times 20\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=4,y=4$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. -x-y च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

-4 ला y-x ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

-3y मिळविण्यासाठी y आणि -4y एकत्र करा.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

1 मिळविण्यासाठी -1 आणि -1 चा गुणाकार करा.

$$x-3y+4x=8$$

5x मिळविण्यासाठी x आणि 4x एकत्र करा.

$$5x-3y=8$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला y+3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

5 मिळविण्यासाठी -1 आणि 6 जोडा.

$$3x+5+2y-5=20$$

0 मिळविण्यासाठी 5 मधून 5 वजा करा.

$$3x+2y=20$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

5x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\times 8,5\times 3x+5\times 2y=5\times 20$$

सरलीकृत करा.

$$15x-9y=24,15x+10y=100$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 15x-9y=24 मधून 15x+10y=100 वजा करा.

$$15x-15x-9y-10y=24-100$$

15x ते -15x जोडा. 15x आणि -15x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-9y-10y=24-100$$

-9y ते -10y जोडा.

$$-19y=24-100$$

24 ते -100 जोडा.

$$-19y=-76$$

दोन्ही बाजूंना -19 ने विभागा.

$$y=4$$

3x+2y=20 मध्ये y साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x+2\times 4=20$$

4 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$3x+8=20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8 वजा करा.

$$3x=12$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=4,y=4$$