{l}{(x-2)^2-2(x-2y)=1-(3-x)(3+x)}{2x+y=4} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ^ { 2 } - 2 ( x - 2 y ) = 1 - ( 3 - x ) ( 3 + x ) } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=2$$

$$y=0$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. \left(x-2\right)^{2} विस्तारीत करण्यासाठी द्विपदीय प्रमेय वापरा \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

-2 ला x-2y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

-6x मिळविण्यासाठी -4x आणि -2x एकत्र करा.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

\left(3-x\right)\left(3+x\right) वाचारात घ्या. हा नियम वापरून चौरसांच्या फरकामध्ये गुणाकाराची स्थित्यंतरे केली जाऊ शकतात: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. वर्ग 3.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

9-x^{2} च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

-8 मिळविण्यासाठी 1 मधून 9 वजा करा.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

दोन्ही बाजूंकडून x^{2} वजा करा.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

0 मिळविण्यासाठी x^{2} आणि -x^{2} एकत्र करा.

$$-6x+4+4y=-8$$

दोन्ही बाजूंकडून 4 वजा करा.

$$-6x+4y=-8-4$$

-12 मिळविण्यासाठी -8 मधून 4 वजा करा.

$$-6x+4y=-12$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-6x+4y=-12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4y वजा करा.

$$-6x=-4y-12$$

दोन्ही बाजूंना -6 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-4y-12\right)$$

-4y-12 ला -\frac{1}{6} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{2}{3}y+2$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{2y}{3}+2 चा विकल्प वापरा, 2x+y=4.

$$2\left(\frac{2}{3}y+2\right)+y=4$$

\frac{2y}{3}+2 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{4}{3}y+4+y=4$$

\frac{4y}{3} ते y जोडा.

$$\frac{7}{3}y+4=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4 वजा करा.

$$\frac{7}{3}y=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{7}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=0$$

x=\frac{2}{3}y+2 मध्ये y साठी 0 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=0$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. \left(x-2\right)^{2} विस्तारीत करण्यासाठी द्विपदीय प्रमेय वापरा \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

-2 ला x-2y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

-6x मिळविण्यासाठी -4x आणि -2x एकत्र करा.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

\left(3-x\right)\left(3+x\right) वाचारात घ्या. हा नियम वापरून चौरसांच्या फरकामध्ये गुणाकाराची स्थित्यंतरे केली जाऊ शकतात: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. वर्ग 3.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

9-x^{2} च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

-8 मिळविण्यासाठी 1 मधून 9 वजा करा.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

दोन्ही बाजूंकडून x^{2} वजा करा.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

0 मिळविण्यासाठी x^{2} आणि -x^{2} एकत्र करा.

$$-6x+4+4y=-8$$

दोन्ही बाजूंकडून 4 वजा करा.

$$-6x+4y=-8-4$$

-12 मिळविण्यासाठी -8 मधून 4 वजा करा.

$$-6x+4y=-12$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-6-4\times 2}&-\frac{4}{-6-4\times 2}\\-\frac{2}{-6-4\times 2}&-\frac{6}{-6-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\times 4\\\frac{1}{7}\left(-12\right)+\frac{3}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=2,y=0$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. \left(x-2\right)^{2} विस्तारीत करण्यासाठी द्विपदीय प्रमेय वापरा \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

-2 ला x-2y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

-6x मिळविण्यासाठी -4x आणि -2x एकत्र करा.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

\left(3-x\right)\left(3+x\right) वाचारात घ्या. हा नियम वापरून चौरसांच्या फरकामध्ये गुणाकाराची स्थित्यंतरे केली जाऊ शकतात: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. वर्ग 3.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

9-x^{2} च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

-8 मिळविण्यासाठी 1 मधून 9 वजा करा.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

दोन्ही बाजूंकडून x^{2} वजा करा.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

0 मिळविण्यासाठी x^{2} आणि -x^{2} एकत्र करा.

$$-6x+4+4y=-8$$

दोन्ही बाजूंकडून 4 वजा करा.

$$-6x+4y=-8-4$$

-12 मिळविण्यासाठी -8 मधून 4 वजा करा.

$$-6x+4y=-12$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

-6x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -6 ने गुणाकार करा.

$$2\left(-6\right)x+2\times 4y=2\left(-12\right),-6\times 2x-6y=-6\times 4$$

सरलीकृत करा.

$$-12x+8y=-24,-12x-6y=-24$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -12x+8y=-24 मधून -12x-6y=-24 वजा करा.

$$-12x+12x+8y+6y=-24+24$$

-12x ते 12x जोडा. -12x आणि 12x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$8y+6y=-24+24$$

8y ते 6y जोडा.

$$14y=-24+24$$

-24 ते 24 जोडा.

$$14y=0$$

दोन्ही बाजूंना 14 ने विभागा.

$$y=0$$

2x+y=4 मध्ये y साठी 0 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x=4$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=0$$