{l}{(x+2)^2+1=x^2+5y}{3x+y=1} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x + 2 ) ^ { 2 } + 1 = x ^ { 2 } + 5 y } \\ { 3 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=0$$

$$y=1$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. \left(x+2\right)^{2} विस्तारीत करण्यासाठी द्विपदीय प्रमेय वापरा \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

5 मिळविण्यासाठी 4 आणि 1 जोडा.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

दोन्ही बाजूंकडून x^{2} वजा करा.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

0 मिळविण्यासाठी x^{2} आणि -x^{2} एकत्र करा.

$$4x+5=5y$$

दोन्ही बाजूंकडून 5y वजा करा.

$$4x+5-5y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 5 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$4x-5y=-5$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x-5y=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5y जोडा.

$$4x=5y-5$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-5\right)$$

-5+5y ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-5+5y}{4} चा विकल्प वापरा, 3x+y=1.

$$3\left(\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}\right)+y=1$$

\frac{-5+5y}{4} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{15}{4}y-\frac{15}{4}+y=1$$

\frac{15y}{4} ते y जोडा.

$$\frac{19}{4}y-\frac{15}{4}=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{15}{4} जोडा.

$$\frac{19}{4}y=\frac{19}{4}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{19}{4} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=1$$

x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4} मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{5-5}{4}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{5}{4} ते \frac{5}{4} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=0$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=0,y=1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. \left(x+2\right)^{2} विस्तारीत करण्यासाठी द्विपदीय प्रमेय वापरा \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

5 मिळविण्यासाठी 4 आणि 1 जोडा.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

दोन्ही बाजूंकडून x^{2} वजा करा.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

0 मिळविण्यासाठी x^{2} आणि -x^{2} एकत्र करा.

$$4x+5=5y$$

दोन्ही बाजूंकडून 5y वजा करा.

$$4x+5-5y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 5 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$4x-5y=-5$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-5\times 3\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\left(-5\right)+\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}\left(-5\right)+\frac{4}{19}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=0,y=1$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. \left(x+2\right)^{2} विस्तारीत करण्यासाठी द्विपदीय प्रमेय वापरा \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

5 मिळविण्यासाठी 4 आणि 1 जोडा.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

दोन्ही बाजूंकडून x^{2} वजा करा.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

0 मिळविण्यासाठी x^{2} आणि -x^{2} एकत्र करा.

$$4x+5=5y$$

दोन्ही बाजूंकडून 5y वजा करा.

$$4x+5-5y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 5 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$4x-5y=-5$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

4x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$3\times 4x+3\left(-5\right)y=3\left(-5\right),4\times 3x+4y=4$$

सरलीकृत करा.

$$12x-15y=-15,12x+4y=4$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 12x-15y=-15 मधून 12x+4y=4 वजा करा.

$$12x-12x-15y-4y=-15-4$$

12x ते -12x जोडा. 12x आणि -12x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-15y-4y=-15-4$$

-15y ते -4y जोडा.

$$-19y=-15-4$$

-15 ते -4 जोडा.

$$-19y=-19$$

दोन्ही बाजूंना -19 ने विभागा.

$$y=1$$

3x+y=1 मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x+1=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 1 वजा करा.

$$3x=0$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=0$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=0,y=1$$