{l}{x/3-y/2=4}{x+y/12=2} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 4 } \\ { x + \frac { y } { 12 } = 2 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{48}{19} = 2\frac{10}{19} \approx 2.526315789$$

$$y = -\frac{120}{19} = -6\frac{6}{19} \approx -6.315789474$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 3,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2x-3y=24$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 12 ने गुणाकार करा.

$$12x+y=24$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x-3y=24$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$2x=3y+24$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+24\right)$$

24+3y ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3}{2}y+12$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{3y}{2}+12 चा विकल्प वापरा, 12x+y=24.

$$12\left(\frac{3}{2}y+12\right)+y=24$$

\frac{3y}{2}+12 ला 12 वेळा गुणाकार करा.

$$18y+144+y=24$$

18y ते y जोडा.

$$19y+144=24$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 144 वजा करा.

$$19y=-120$$

दोन्ही बाजूंना 19 ने विभागा.

$$y=-\frac{120}{19}$$

x=\frac{3}{2}y+12 मध्ये y साठी -\frac{120}{19} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{19}\right)+12$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{120}{19} चा \frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{180}{19}+12$$

12 ते -\frac{180}{19} जोडा.

$$x=\frac{48}{19}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 3,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2x-3y=24$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 12 ने गुणाकार करा.

$$12x+y=24$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 12\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 12\right)}\\-\frac{12}{2-\left(-3\times 12\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{38}&\frac{3}{38}\\-\frac{6}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{38}\times 24+\frac{3}{38}\times 24\\-\frac{6}{19}\times 24+\frac{1}{19}\times 24\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{19}\\-\frac{120}{19}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 3,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2x-3y=24$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 12 ने गुणाकार करा.

$$12x+y=24$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

2x आणि 12x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 12 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$12\times 2x+12\left(-3\right)y=12\times 24,2\times 12x+2y=2\times 24$$

सरलीकृत करा.

$$24x-36y=288,24x+2y=48$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 24x-36y=288 मधून 24x+2y=48 वजा करा.

$$24x-24x-36y-2y=288-48$$

24x ते -24x जोडा. 24x आणि -24x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-36y-2y=288-48$$

-36y ते -2y जोडा.

$$-38y=288-48$$

288 ते -48 जोडा.

$$-38y=240$$

दोन्ही बाजूंना -38 ने विभागा.

$$y=-\frac{120}{19}$$

12x+y=24 मध्ये y साठी -\frac{120}{19} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$12x-\frac{120}{19}=24$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{120}{19} जोडा.

$$12x=\frac{576}{19}$$

दोन्ही बाजूंना 12 ने विभागा.

$$x=\frac{48}{19}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$