{l}{x/2+y/6=11/2}{2x/5-frac{y}{3}=-frac{1}{5}} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 6 } = 1 \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 2 x } { 5 } - \frac { y } { 3 } = - \frac { 1 } { 5 } } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=2$$

$$y=3$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 2,6 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

2 मिळविण्यासाठी 1 आणि 2 चा गुणाकार करा.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

3 मिळविण्यासाठी 2 आणि 1 जोडा.

$$3x+y=3\times 3$$

9 मिळविण्यासाठी 3 आणि 3 चा गुणाकार करा.

$$3x+y=9$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 15 ने गुणाकार करा, 5,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3\times 2x-5y=-3$$

6 मिळविण्यासाठी 3 आणि 2 चा गुणाकार करा.

$$6x-5y=-3$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+y=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$3x=-y+9$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+9\right)$$

-y+9 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{3}y+3$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{y}{3}+3 चा विकल्प वापरा, 6x-5y=-3.

$$6\left(-\frac{1}{3}y+3\right)-5y=-3$$

-\frac{y}{3}+3 ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$-2y+18-5y=-3$$

-2y ते -5y जोडा.

$$-7y+18=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 18 वजा करा.

$$-7y=-21$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$y=3$$

x=-\frac{1}{3}y+3 मध्ये y साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{3}\times 3+3$$

3 ला -\frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-1+3$$

3 ते -1 जोडा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 2,6 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

2 मिळविण्यासाठी 1 आणि 2 चा गुणाकार करा.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

3 मिळविण्यासाठी 2 आणि 1 जोडा.

$$3x+y=3\times 3$$

9 मिळविण्यासाठी 3 आणि 3 चा गुणाकार करा.

$$3x+y=9$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 15 ने गुणाकार करा, 5,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3\times 2x-5y=-3$$

6 मिळविण्यासाठी 3 आणि 2 चा गुणाकार करा.

$$6x-5y=-3$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-6}&-\frac{1}{3\left(-5\right)-6}\\-\frac{6}{3\left(-5\right)-6}&\frac{3}{3\left(-5\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 9+\frac{1}{21}\left(-3\right)\\\frac{2}{7}\times 9-\frac{1}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=2,y=3$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 2,6 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

2 मिळविण्यासाठी 1 आणि 2 चा गुणाकार करा.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

3 मिळविण्यासाठी 2 आणि 1 जोडा.

$$3x+y=3\times 3$$

9 मिळविण्यासाठी 3 आणि 3 चा गुणाकार करा.

$$3x+y=9$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 15 ने गुणाकार करा, 5,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3\times 2x-5y=-3$$

6 मिळविण्यासाठी 3 आणि 2 चा गुणाकार करा.

$$6x-5y=-3$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

3x आणि 6x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$6\times 3x+6y=6\times 9,3\times 6x+3\left(-5\right)y=3\left(-3\right)$$

सरलीकृत करा.

$$18x+6y=54,18x-15y=-9$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 18x+6y=54 मधून 18x-15y=-9 वजा करा.

$$18x-18x+6y+15y=54+9$$

18x ते -18x जोडा. 18x आणि -18x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$6y+15y=54+9$$

6y ते 15y जोडा.

$$21y=54+9$$

54 ते 9 जोडा.

$$21y=63$$

दोन्ही बाजूंना 21 ने विभागा.

$$y=3$$

6x-5y=-3 मध्ये y साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$6x-5\times 3=-3$$

3 ला -5 वेळा गुणाकार करा.

$$6x-15=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 15 जोडा.

$$6x=12$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=3$$