{l}{x^2/4+y^2/2=1}{x=my+1} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 } \\ { x = m y + 1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}$$

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}$$

विकल्प आणि वर्गसमीकरण सूत्र वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 4 ने गुणाकार करा, 4,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$x^{2}+2y^{2}=4$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून my वजा करा.

$$x-my=1$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+\left(-m\right)y=1,2y^{2}+x^{2}=4$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूवर x विलग करून x साठी x+\left(-m\right)y=1 सोडवा.

$$x+\left(-m\right)y=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \left(-m\right)y वजा करा.

$$x=my+1$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी my+1 चा विकल्प वापरा, 2y^{2}+x^{2}=4.

$$2y^{2}+\left(my+1\right)^{2}=4$$

वर्ग my+1.

$$2y^{2}+m^{2}y^{2}+2my+1=4$$

2y^{2} ते m^{2}y^{2} जोडा.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my+1=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4 वजा करा.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my-3=0$$

हे समीकरण मानक स्वरूपात आहे: ax^{2}+bx+c=0. वर्गसमीकरण सूत्र, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मध्ये a साठी 2+1m^{2}, b साठी 1\times 1\times 2m आणि c साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{\left(2m\right)^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

वर्ग 1\times 1\times 2m.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

2+1m^{2} ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+\left(-4m^{2}-8\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

-3 ला -8-4m^{2} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+12m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

4m^{2} ते 24+12m^{2} जोडा.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{16m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

24+16m^{2} चा वर्गमूळ घ्या.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

2+1m^{2} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4}$$

आता ± धन असताना समीकरण y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} सोडवा. -2m ते 2\sqrt{6+4m^{2}} जोडा.

$$y=\frac{2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

-2m+2\sqrt{6+4m^{2}} ला 4+2m^{2} ने भागा.

$$y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}$$

आता ± ऋण असताना समीकरण y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} सोडवा. -2m मधून 2\sqrt{6+4m^{2}} वजा करा.

$$y=\frac{-2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

-2m-2\sqrt{6+4m^{2}} ला 4+2m^{2} ने भागा.

$$y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

y साठी दोन निरसने आहेत : \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} आणि -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}. x साठी संबंधित निरसन शोधण्यासाठी, जे दोन्ही समीकरणांचे समाधान करते, समीकरण x=my+1 मध्ये y साठी \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} विकल्प म्हणून वापरा.

$$x=m\times \frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}+1$$

\frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} ला m वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m+1$$

m\times \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} ते 1 जोडा.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m$$

आता समीकरण x=my+1 मध्ये y साठी -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} विकल्प म्हणून वापरा आणि x साठी संबंधित निरसन शोधण्यासाठी, जे दोन्ही समीकरणाचे समाधान करते, सोडवा.

$$x=m\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)+1$$

-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} ला m वेळा गुणाकार करा.

$$x=\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m+1$$

m\left(-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}\right) ते 1 जोडा.

$$x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m,y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}\text{ or }x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m,y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

x, y साठी सोडवा (जटिल उत्तर)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}\text{; }x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}\text{, }&m\neq -\sqrt{2}i\text{ and }m\neq \sqrt{2}i\\x=\frac{5}{2}=2.5\text{, }y=\frac{3}{2m}\text{, }&m=-\sqrt{2}i\text{ or }m=\sqrt{2}i\end{matrix}\right.$$