{l}{a/4-bln1/2+1/2=1+ln2}{a-2b=0} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { a } { 4 } - b \ln \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } = 1 + \ln 2 } \\ { a - 2 b = 0 } \end{array} \right.$$

a, b साठी सोडवा

$$a=2$$

$$b=1$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 4 ने गुणाकार करा, 4,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)$$

दोन्ही बाजूंकडून 2 वजा करा.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2$$

2 मिळविण्यासाठी 4 मधून 2 वजा करा.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 4 ने गुणाकार करा.

$$16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 4 ने गुणाकार करा.

$$64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)$$

64 ला \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2}) ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

64 आणि 4 मधील सर्वात मोठा सामान्य घटक 4 रद्द करा.

$$16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला a विलग करून, a साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 64\ln(2)b वजा करा.

$$16a=\left(-64\ln(2)\right)b+64\ln(2)+32$$

दोन्ही बाजूंना 16 ने विभागा.

$$a=\frac{1}{16}\left(\left(-64\ln(2)\right)b+64\ln(2)+32\right)$$

-64\ln(2)b+32+64\ln(2) ला \frac{1}{16} वेळा गुणाकार करा.

$$a=\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2$$

इतर समीकरणामध्ये a साठी -4\ln(2)b+2+4\ln(2) चा विकल्प वापरा, a-2b=0.

$$\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2-2b=0$$

-4\ln(2)b ते -2b जोडा.

$$\left(-4\ln(2)-2\right)b+4\ln(2)+2=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2+4\ln(2) वजा करा.

$$\left(-4\ln(2)-2\right)b=-4\ln(2)-2$$

दोन्ही बाजूंना -4\ln(2)-2 ने विभागा.

$$b=1$$

a=\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2 मध्ये b साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$a=-4\ln(2)+4\ln(2)+2$$

2+4\ln(2) ते -4\ln(2) जोडा.

$$a=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=2,b=1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 4 ने गुणाकार करा, 4,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)$$

दोन्ही बाजूंकडून 2 वजा करा.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2$$

2 मिळविण्यासाठी 4 मधून 2 वजा करा.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 4 ने गुणाकार करा.

$$16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 4 ने गुणाकार करा.

$$64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)$$

64 ला \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2}) ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

64 आणि 4 मधील सर्वात मोठा सामान्य घटक 4 रद्द करा.

$$16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}&-\frac{64\ln(2)}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}\\-\frac{1}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}&\frac{16}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16\left(2\ln(2)+1\right)}&\frac{2\ln(2)}{2\ln(2)+1}\\\frac{1}{32\left(2\ln(2)+1\right)}&-\frac{1}{2\left(2\ln(2)+1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16\left(2\ln(2)+1\right)}\left(64\ln(2)+32\right)\\\frac{1}{32\left(2\ln(2)+1\right)}\left(64\ln(2)+32\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे a आणि b घटक बाहेर काढा.

$$a=2,b=1$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 4 ने गुणाकार करा, 4,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)$$

दोन्ही बाजूंकडून 2 वजा करा.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2$$

2 मिळविण्यासाठी 4 मधून 2 वजा करा.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 4 ने गुणाकार करा.

$$16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 4 ने गुणाकार करा.

$$64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)$$

64 ला \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2}) ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

64 आणि 4 मधील सर्वात मोठा सामान्य घटक 4 रद्द करा.

$$16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0$$

16a आणि a समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 16 ने गुणाकार करा.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,16a+16\left(-2\right)b=0$$

सरलीकृत करा.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,16a-32b=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32 मधून 16a-32b=0 वजा करा.

$$16a-16a+64\ln(2)b+32b=64\ln(2)+32$$

16a ते -16a जोडा. 16a आणि -16a रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$64\ln(2)b+32b=64\ln(2)+32$$

64\ln(2)b ते 32b जोडा.

$$\left(64\ln(2)+32\right)b=64\ln(2)+32$$

दोन्ही बाजूंना 32+64\ln(2) ने विभागा.

$$b=1$$

a-2b=0 मध्ये b साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$a-2=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2 जोडा.

$$a=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=2,b=1$$