{l}{5(x-3)/4-3(2y+1)/10=4-7(x+y+1)/8}{6x-5(2y-7)=21} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 ( x - 3 ) } { 4 } - \frac { 3 ( 2 y + 1 ) } { 10 } = \frac { 4 - 7 ( x + y + 1 ) } { 8 } } \\ { 6 x - 5 ( 2 y - 7 ) = 21 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{329}{229} = 1\frac{100}{229} \approx 1.436681223$$

$$y = \frac{518}{229} = 2\frac{60}{229} \approx 2.262008734$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 40 ने गुणाकार करा, 4,10,8 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 मिळविण्यासाठी 10 आणि 5 चा गुणाकार करा.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 ला x-3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 मिळविण्यासाठी -4 आणि 3 चा गुणाकार करा.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 ला 2y+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-162 मिळविण्यासाठी -150 मधून 12 वजा करा.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-7 ला x+y+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

-3 मिळविण्यासाठी 4 मधून 7 वजा करा.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

5 ला -3-7x-7y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

दोन्ही बाजूंना 35x जोडा.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

85x मिळविण्यासाठी 50x आणि 35x एकत्र करा.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

दोन्ही बाजूंना 35y जोडा.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

11y मिळविण्यासाठी -24y आणि 35y एकत्र करा.

$$85x-162+11y=-15$$

दोन्ही बाजूंना 162 जोडा.

$$85x+11y=-15+162$$

147 मिळविण्यासाठी -15 आणि 162 जोडा.

$$85x+11y=147$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. -5 ला 2y-7 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x-10y+35=21$$

दोन्ही बाजूंकडून 35 वजा करा.

$$6x-10y=21-35$$

-14 मिळविण्यासाठी 21 मधून 35 वजा करा.

$$6x-10y=-14$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$85x+11y=147$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 11y वजा करा.

$$85x=-11y+147$$

दोन्ही बाजूंना 85 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{85}\left(-11y+147\right)$$

-11y+147 ला \frac{1}{85} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-11y+147}{85} चा विकल्प वापरा, 6x-10y=-14.

$$6\left(-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}\right)-10y=-14$$

\frac{-11y+147}{85} ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{66}{85}y+\frac{882}{85}-10y=-14$$

-\frac{66y}{85} ते -10y जोडा.

$$-\frac{916}{85}y+\frac{882}{85}=-14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{882}{85} वजा करा.

$$-\frac{916}{85}y=-\frac{2072}{85}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{916}{85} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{518}{229}$$

x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85} मध्ये y साठी \frac{518}{229} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{11}{85}\times \frac{518}{229}+\frac{147}{85}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{518}{229} चा -\frac{11}{85} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{5698}{19465}+\frac{147}{85}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{147}{85} ते -\frac{5698}{19465} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{329}{229}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 40 ने गुणाकार करा, 4,10,8 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 मिळविण्यासाठी 10 आणि 5 चा गुणाकार करा.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 ला x-3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 मिळविण्यासाठी -4 आणि 3 चा गुणाकार करा.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 ला 2y+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-162 मिळविण्यासाठी -150 मधून 12 वजा करा.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-7 ला x+y+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

-3 मिळविण्यासाठी 4 मधून 7 वजा करा.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

5 ला -3-7x-7y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

दोन्ही बाजूंना 35x जोडा.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

85x मिळविण्यासाठी 50x आणि 35x एकत्र करा.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

दोन्ही बाजूंना 35y जोडा.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

11y मिळविण्यासाठी -24y आणि 35y एकत्र करा.

$$85x-162+11y=-15$$

दोन्ही बाजूंना 162 जोडा.

$$85x+11y=-15+162$$

147 मिळविण्यासाठी -15 आणि 162 जोडा.

$$85x+11y=147$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. -5 ला 2y-7 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x-10y+35=21$$

दोन्ही बाजूंकडून 35 वजा करा.

$$6x-10y=21-35$$

-14 मिळविण्यासाठी 21 मधून 35 वजा करा.

$$6x-10y=-14$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{85\left(-10\right)-11\times 6}&-\frac{11}{85\left(-10\right)-11\times 6}\\-\frac{6}{85\left(-10\right)-11\times 6}&\frac{85}{85\left(-10\right)-11\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}&\frac{11}{916}\\\frac{3}{458}&-\frac{85}{916}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}\times 147+\frac{11}{916}\left(-14\right)\\\frac{3}{458}\times 147-\frac{85}{916}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{329}{229}\\\frac{518}{229}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 40 ने गुणाकार करा, 4,10,8 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 मिळविण्यासाठी 10 आणि 5 चा गुणाकार करा.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 ला x-3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 मिळविण्यासाठी -4 आणि 3 चा गुणाकार करा.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 ला 2y+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-162 मिळविण्यासाठी -150 मधून 12 वजा करा.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-7 ला x+y+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

-3 मिळविण्यासाठी 4 मधून 7 वजा करा.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

5 ला -3-7x-7y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

दोन्ही बाजूंना 35x जोडा.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

85x मिळविण्यासाठी 50x आणि 35x एकत्र करा.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

दोन्ही बाजूंना 35y जोडा.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

11y मिळविण्यासाठी -24y आणि 35y एकत्र करा.

$$85x-162+11y=-15$$

दोन्ही बाजूंना 162 जोडा.

$$85x+11y=-15+162$$

147 मिळविण्यासाठी -15 आणि 162 जोडा.

$$85x+11y=147$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. -5 ला 2y-7 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x-10y+35=21$$

दोन्ही बाजूंकडून 35 वजा करा.

$$6x-10y=21-35$$

-14 मिळविण्यासाठी 21 मधून 35 वजा करा.

$$6x-10y=-14$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

85x आणि 6x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 85 ने गुणाकार करा.

$$6\times 85x+6\times 11y=6\times 147,85\times 6x+85\left(-10\right)y=85\left(-14\right)$$

सरलीकृत करा.

$$510x+66y=882,510x-850y=-1190$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 510x+66y=882 मधून 510x-850y=-1190 वजा करा.

$$510x-510x+66y+850y=882+1190$$

510x ते -510x जोडा. 510x आणि -510x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$66y+850y=882+1190$$

66y ते 850y जोडा.

$$916y=882+1190$$

882 ते 1190 जोडा.

$$916y=2072$$

दोन्ही बाजूंना 916 ने विभागा.

$$y=\frac{518}{229}$$

6x-10y=-14 मध्ये y साठी \frac{518}{229} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$6x-10\times \frac{518}{229}=-14$$

\frac{518}{229} ला -10 वेळा गुणाकार करा.

$$6x-\frac{5180}{229}=-14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{5180}{229} जोडा.

$$6x=\frac{1974}{229}$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=\frac{329}{229}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$