{l}{3x+5y/6=-5}{2(x+7)+3y=-5} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x + 5 y } { 6 } = - 5 } \\ { 2 ( x + 7 ) + 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-5$$

$$y=-3$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 6 ने गुणाकार करा.

$$3x+5y=-5\times 6$$

-30 मिळविण्यासाठी -5 आणि 6 चा गुणाकार करा.

$$3x+5y=-30$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला x+7 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+14+3y=-5$$

दोन्ही बाजूंकडून 14 वजा करा.

$$2x+3y=-5-14$$

-19 मिळविण्यासाठी -5 मधून 14 वजा करा.

$$2x+3y=-19$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+5y=-30$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5y वजा करा.

$$3x=-5y-30$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-30\right)$$

-5y-30 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{5}{3}y-10$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{5y}{3}-10 चा विकल्प वापरा, 2x+3y=-19.

$$2\left(-\frac{5}{3}y-10\right)+3y=-19$$

-\frac{5y}{3}-10 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{10}{3}y-20+3y=-19$$

-\frac{10y}{3} ते 3y जोडा.

$$-\frac{1}{3}y-20=-19$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 20 जोडा.

$$-\frac{1}{3}y=1$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने गुणाकार करा.

$$y=-3$$

x=-\frac{5}{3}y-10 मध्ये y साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-10$$

-3 ला -\frac{5}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=5-10$$

-10 ते 5 जोडा.

$$x=-5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-5,y=-3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 6 ने गुणाकार करा.

$$3x+5y=-5\times 6$$

-30 मिळविण्यासाठी -5 आणि 6 चा गुणाकार करा.

$$3x+5y=-30$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला x+7 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+14+3y=-5$$

दोन्ही बाजूंकडून 14 वजा करा.

$$2x+3y=-5-14$$

-19 मिळविण्यासाठी -5 मधून 14 वजा करा.

$$2x+3y=-19$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\left(-30\right)+5\left(-19\right)\\2\left(-30\right)-3\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-5,y=-3$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 6 ने गुणाकार करा.

$$3x+5y=-5\times 6$$

-30 मिळविण्यासाठी -5 आणि 6 चा गुणाकार करा.

$$3x+5y=-30$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला x+7 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+14+3y=-5$$

दोन्ही बाजूंकडून 14 वजा करा.

$$2x+3y=-5-14$$

-19 मिळविण्यासाठी -5 मधून 14 वजा करा.

$$2x+3y=-19$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

3x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\left(-30\right),3\times 2x+3\times 3y=3\left(-19\right)$$

सरलीकृत करा.

$$6x+10y=-60,6x+9y=-57$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6x+10y=-60 मधून 6x+9y=-57 वजा करा.

$$6x-6x+10y-9y=-60+57$$

6x ते -6x जोडा. 6x आणि -6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$10y-9y=-60+57$$

10y ते -9y जोडा.

$$y=-60+57$$

-60 ते 57 जोडा.

$$y=-3$$

2x+3y=-19 मध्ये y साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+3\left(-3\right)=-19$$

-3 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$2x-9=-19$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 9 जोडा.

$$2x=-10$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=-5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-5,y=-3$$