{l}{2x+7y/3+y=0}{x+5y-1/2=7+2x} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 7 y } { 3 } + y = 0 } \\ { x + \frac { 5 y - 1 } { 2 } = 7 + 2 x } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-5$$

$$y=1$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$2x+7y+3y=0$$

10y मिळविण्यासाठी 7y आणि 3y एकत्र करा.

$$2x+10y=0$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$2x+5y-1=14+4x$$

दोन्ही बाजूंकडून 4x वजा करा.

$$2x+5y-1-4x=14$$

-2x मिळविण्यासाठी 2x आणि -4x एकत्र करा.

$$-2x+5y-1=14$$

दोन्ही बाजूंना 1 जोडा.

$$-2x+5y=14+1$$

15 मिळविण्यासाठी 14 आणि 1 जोडा.

$$-2x+5y=15$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+10y=0,-2x+5y=15$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+10y=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 10y वजा करा.

$$2x=-10y$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)y$$

-10y ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-5y$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -5y चा विकल्प वापरा, -2x+5y=15.

$$-2\left(-5\right)y+5y=15$$

-5y ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$10y+5y=15$$

10y ते 5y जोडा.

$$15y=15$$

दोन्ही बाजूंना 15 ने विभागा.

$$y=1$$

x=-5y मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-5,y=1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$2x+7y+3y=0$$

10y मिळविण्यासाठी 7y आणि 3y एकत्र करा.

$$2x+10y=0$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$2x+5y-1=14+4x$$

दोन्ही बाजूंकडून 4x वजा करा.

$$2x+5y-1-4x=14$$

-2x मिळविण्यासाठी 2x आणि -4x एकत्र करा.

$$-2x+5y-1=14$$

दोन्ही बाजूंना 1 जोडा.

$$-2x+5y=14+1$$

15 मिळविण्यासाठी 14 आणि 1 जोडा.

$$-2x+5y=15$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+10y=0,-2x+5y=15$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-10\left(-2\right)}&-\frac{10}{2\times 5-10\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 5-10\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 5-10\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{15}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 15\\\frac{1}{15}\times 15\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-5,y=1$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$2x+7y+3y=0$$

10y मिळविण्यासाठी 7y आणि 3y एकत्र करा.

$$2x+10y=0$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$2x+5y-1=14+4x$$

दोन्ही बाजूंकडून 4x वजा करा.

$$2x+5y-1-4x=14$$

-2x मिळविण्यासाठी 2x आणि -4x एकत्र करा.

$$-2x+5y-1=14$$

दोन्ही बाजूंना 1 जोडा.

$$-2x+5y=14+1$$

15 मिळविण्यासाठी 14 आणि 1 जोडा.

$$-2x+5y=15$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+10y=0,-2x+5y=15$$

2x आणि -2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$-2\times 2x-2\times 10y=0,2\left(-2\right)x+2\times 5y=2\times 15$$

सरलीकृत करा.

$$-4x-20y=0,-4x+10y=30$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -4x-20y=0 मधून -4x+10y=30 वजा करा.

$$-4x+4x-20y-10y=-30$$

-4x ते 4x जोडा. -4x आणि 4x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-20y-10y=-30$$

-20y ते -10y जोडा.

$$-30y=-30$$

दोन्ही बाजूंना -30 ने विभागा.

$$y=1$$

-2x+5y=15 मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-2x+5=15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5 वजा करा.

$$-2x=10$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=-5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-5,y=1$$