{l}{2x+7y/3+y=0}{x+5y-1/2=2-x} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 7 y } { 3 } + y = 0 } \\ { x + \frac { 5 y - 1 } { 2 } = 2 - x } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$2x+7y+3y=0$$

10y मिळविण्यासाठी 7y आणि 3y एकत्र करा.

$$2x+10y=0$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$2x+5y-1=4-2x$$

दोन्ही बाजूंना 2x जोडा.

$$2x+5y-1+2x=4$$

4x मिळविण्यासाठी 2x आणि 2x एकत्र करा.

$$4x+5y-1=4$$

दोन्ही बाजूंना 1 जोडा.

$$4x+5y=4+1$$

5 मिळविण्यासाठी 4 आणि 1 जोडा.

$$4x+5y=5$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+10y=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 10y वजा करा.

$$2x=-10y$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)y$$

-10y ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-5y$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -5y चा विकल्प वापरा, 4x+5y=5.

$$4\left(-5\right)y+5y=5$$

-5y ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-20y+5y=5$$

-20y ते 5y जोडा.

$$-15y=5$$

दोन्ही बाजूंना -15 ने विभागा.

$$y=-\frac{1}{3}$$

x=-5y मध्ये y साठी -\frac{1}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-5\left(-\frac{1}{3}\right)$$

-\frac{1}{3} ला -5 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{5}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$2x+7y+3y=0$$

10y मिळविण्यासाठी 7y आणि 3y एकत्र करा.

$$2x+10y=0$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$2x+5y-1=4-2x$$

दोन्ही बाजूंना 2x जोडा.

$$2x+5y-1+2x=4$$

4x मिळविण्यासाठी 2x आणि 2x एकत्र करा.

$$4x+5y-1=4$$

दोन्ही बाजूंना 1 जोडा.

$$4x+5y=4+1$$

5 मिळविण्यासाठी 4 आणि 1 जोडा.

$$4x+5y=5$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-10\times 4}&-\frac{10}{2\times 5-10\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-10\times 4}&\frac{2}{2\times 5-10\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5\\-\frac{1}{15}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$2x+7y+3y=0$$

10y मिळविण्यासाठी 7y आणि 3y एकत्र करा.

$$2x+10y=0$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$2x+5y-1=4-2x$$

दोन्ही बाजूंना 2x जोडा.

$$2x+5y-1+2x=4$$

4x मिळविण्यासाठी 2x आणि 2x एकत्र करा.

$$4x+5y-1=4$$

दोन्ही बाजूंना 1 जोडा.

$$4x+5y=4+1$$

5 मिळविण्यासाठी 4 आणि 1 जोडा.

$$4x+5y=5$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

2x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$4\times 2x+4\times 10y=0,2\times 4x+2\times 5y=2\times 5$$

सरलीकृत करा.

$$8x+40y=0,8x+10y=10$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 8x+40y=0 मधून 8x+10y=10 वजा करा.

$$8x-8x+40y-10y=-10$$

8x ते -8x जोडा. 8x आणि -8x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$40y-10y=-10$$

40y ते -10y जोडा.

$$30y=-10$$

दोन्ही बाजूंना 30 ने विभागा.

$$y=-\frac{1}{3}$$

4x+5y=5 मध्ये y साठी -\frac{1}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x+5\left(-\frac{1}{3}\right)=5$$

-\frac{1}{3} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$4x-\frac{5}{3}=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{5}{3} जोडा.

$$4x=\frac{20}{3}$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{5}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$