{l}{2/3x+1/2y=5}{x-3y=6.} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 1 } { 2 } y = 5 } \\ { x - 3 y = 6 . } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{36}{5} = 7\frac{1}{5} = 7.2$$

$$y=\frac{2}{5}=0.4$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,x-3y=6$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{y}{2} वजा करा.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{1}{2}y+5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{2}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{2}y+5\right)$$

-\frac{y}{2}+5 ला \frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{15}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{3y}{4}+\frac{15}{2} चा विकल्प वापरा, x-3y=6.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{15}{2}-3y=6$$

-\frac{3y}{4} ते -3y जोडा.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{15}{2}=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{15}{2} वजा करा.

$$-\frac{15}{4}y=-\frac{3}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{15}{4} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{2}{5}$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{15}{2} मध्ये y साठी \frac{2}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}+\frac{15}{2}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{2}{5} चा -\frac{3}{4} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{3}{10}+\frac{15}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{15}{2} ते -\frac{3}{10} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{36}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{36}{5},y=\frac{2}{5}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,x-3y=6$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{4}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 6\\\frac{2}{5}\times 5-\frac{4}{15}\times 6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{36}{5}\\\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{36}{5},y=\frac{2}{5}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,x-3y=6$$

\frac{2x}{3} आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना \frac{2}{3} ने गुणाकार करा.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}\left(-3\right)y=\frac{2}{3}\times 6$$

सरलीकृत करा.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5,\frac{2}{3}x-2y=4$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून \frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=5 मधून \frac{2}{3}x-2y=4 वजा करा.

$$\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y+2y=5-4$$

\frac{2x}{3} ते -\frac{2x}{3} जोडा. \frac{2x}{3} आणि -\frac{2x}{3} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$\frac{1}{2}y+2y=5-4$$

\frac{y}{2} ते 2y जोडा.

$$\frac{5}{2}y=5-4$$

5 ते -4 जोडा.

$$\frac{5}{2}y=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{5}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{2}{5}$$

x-3y=6 मध्ये y साठी \frac{2}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x-3\times \frac{2}{5}=6$$

\frac{2}{5} ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$x-\frac{6}{5}=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{6}{5} जोडा.

$$x=\frac{36}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{36}{5},y=\frac{2}{5}$$