{c}{x-3-2(y+1)=-12}{3(x-2y)-2y=-21} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { c } { x - 3 - 2 ( y + 1 ) = - 12 } \\ { 3 ( x - 2 y ) - 2 y = - 21 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-7$$

$$y=0$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. -2 ला y+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$x-3-2y-2=-12$$

-5 मिळविण्यासाठी -3 मधून 2 वजा करा.

$$x-5-2y=-12$$

दोन्ही बाजूंना 5 जोडा.

$$x-2y=-12+5$$

-7 मिळविण्यासाठी -12 आणि 5 जोडा.

$$x-2y=-7$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x-2y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x-6y-2y=-21$$

-8y मिळविण्यासाठी -6y आणि -2y एकत्र करा.

$$3x-8y=-21$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x-2y=-7,3x-8y=-21$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x-2y=-7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2y जोडा.

$$x=2y-7$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी 2y-7 चा विकल्प वापरा, 3x-8y=-21.

$$3\left(2y-7\right)-8y=-21$$

2y-7 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$6y-21-8y=-21$$

6y ते -8y जोडा.

$$-2y-21=-21$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 21 जोडा.

$$-2y=0$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$y=0$$

x=2y-7 मध्ये y साठी 0 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-7$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-7,y=0$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. -2 ला y+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$x-3-2y-2=-12$$

-5 मिळविण्यासाठी -3 मधून 2 वजा करा.

$$x-5-2y=-12$$

दोन्ही बाजूंना 5 जोडा.

$$x-2y=-12+5$$

-7 मिळविण्यासाठी -12 आणि 5 जोडा.

$$x-2y=-7$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x-2y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x-6y-2y=-21$$

-8y मिळविण्यासाठी -6y आणि -2y एकत्र करा.

$$3x-8y=-21$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x-2y=-7,3x-8y=-21$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-2\\3&-8\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-8-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-8-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{-8-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\left(-7\right)-\left(-21\right)\\\frac{3}{2}\left(-7\right)-\frac{1}{2}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-7,y=0$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. -2 ला y+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$x-3-2y-2=-12$$

-5 मिळविण्यासाठी -3 मधून 2 वजा करा.

$$x-5-2y=-12$$

दोन्ही बाजूंना 5 जोडा.

$$x-2y=-12+5$$

-7 मिळविण्यासाठी -12 आणि 5 जोडा.

$$x-2y=-7$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x-2y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x-6y-2y=-21$$

-8y मिळविण्यासाठी -6y आणि -2y एकत्र करा.

$$3x-8y=-21$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x-2y=-7,3x-8y=-21$$

x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$3x+3\left(-2\right)y=3\left(-7\right),3x-8y=-21$$

सरलीकृत करा.

$$3x-6y=-21,3x-8y=-21$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3x-6y=-21 मधून 3x-8y=-21 वजा करा.

$$3x-3x-6y+8y=-21+21$$

3x ते -3x जोडा. 3x आणि -3x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-6y+8y=-21+21$$

-6y ते 8y जोडा.

$$2y=-21+21$$

-21 ते 21 जोडा.

$$2y=0$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=0$$

3x-8y=-21 मध्ये y साठी 0 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x=-21$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=-7$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-7,y=0$$