{c}{3y-9=4x-4y+5}{5y-3=-(x+2)+1+2y} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { c } { 3 y - 9 = 4 x - 4 y + 5 } \\ { 5 y - 3 = - ( x + 2 ) + 1 + 2 y } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x = -\frac{28}{19} = -1\frac{9}{19} \approx -1.473684211$$

$$y = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 4x वजा करा.

$$3y-9-4x=-4y+5$$

दोन्ही बाजूंना 4y जोडा.

$$3y-9-4x+4y=5$$

7y मिळविण्यासाठी 3y आणि 4y एकत्र करा.

$$7y-9-4x=5$$

दोन्ही बाजूंना 9 जोडा.

$$7y-4x=5+9$$

14 मिळविण्यासाठी 5 आणि 9 जोडा.

$$7y-4x=14$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. x+2 च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$5y-3=-x-2+1+2y$$

-1 मिळविण्यासाठी -2 आणि 1 जोडा.

$$5y-3=-x-1+2y$$

दोन्ही बाजूंना x जोडा.

$$5y-3+x=-1+2y$$

दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$5y-3+x-2y=-1$$

3y मिळविण्यासाठी 5y आणि -2y एकत्र करा.

$$3y-3+x=-1$$

दोन्ही बाजूंना 3 जोडा.

$$3y+x=-1+3$$

2 मिळविण्यासाठी -1 आणि 3 जोडा.

$$3y+x=2$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$7y-4x=14,3y+x=2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$7y-4x=14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4x जोडा.

$$7y=4x+14$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{7}\left(4x+14\right)$$

4x+14 ला \frac{1}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{4}{7}x+2$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{4x}{7}+2 चा विकल्प वापरा, 3y+x=2.

$$3\left(\frac{4}{7}x+2\right)+x=2$$

\frac{4x}{7}+2 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{12}{7}x+6+x=2$$

\frac{12x}{7} ते x जोडा.

$$\frac{19}{7}x+6=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6 वजा करा.

$$\frac{19}{7}x=-4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{19}{7} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=-\frac{28}{19}$$

y=\frac{4}{7}x+2 मध्ये x साठी -\frac{28}{19} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=\frac{4}{7}\left(-\frac{28}{19}\right)+2$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{28}{19} चा \frac{4}{7} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$y=-\frac{16}{19}+2$$

2 ते -\frac{16}{19} जोडा.

$$y=\frac{22}{19}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{28}{19}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 4x वजा करा.

$$3y-9-4x=-4y+5$$

दोन्ही बाजूंना 4y जोडा.

$$3y-9-4x+4y=5$$

7y मिळविण्यासाठी 3y आणि 4y एकत्र करा.

$$7y-9-4x=5$$

दोन्ही बाजूंना 9 जोडा.

$$7y-4x=5+9$$

14 मिळविण्यासाठी 5 आणि 9 जोडा.

$$7y-4x=14$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. x+2 च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$5y-3=-x-2+1+2y$$

-1 मिळविण्यासाठी -2 आणि 1 जोडा.

$$5y-3=-x-1+2y$$

दोन्ही बाजूंना x जोडा.

$$5y-3+x=-1+2y$$

दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$5y-3+x-2y=-1$$

3y मिळविण्यासाठी 5y आणि -2y एकत्र करा.

$$3y-3+x=-1$$

दोन्ही बाजूंना 3 जोडा.

$$3y+x=-1+3$$

2 मिळविण्यासाठी -1 आणि 3 जोडा.

$$3y+x=2$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$7y-4x=14,3y+x=2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{7-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{7-\left(-4\times 3\right)}&\frac{7}{7-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{4}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{7}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\times 14+\frac{4}{19}\times 2\\-\frac{3}{19}\times 14+\frac{7}{19}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\-\frac{28}{19}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{28}{19}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 4x वजा करा.

$$3y-9-4x=-4y+5$$

दोन्ही बाजूंना 4y जोडा.

$$3y-9-4x+4y=5$$

7y मिळविण्यासाठी 3y आणि 4y एकत्र करा.

$$7y-9-4x=5$$

दोन्ही बाजूंना 9 जोडा.

$$7y-4x=5+9$$

14 मिळविण्यासाठी 5 आणि 9 जोडा.

$$7y-4x=14$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. x+2 च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$5y-3=-x-2+1+2y$$

-1 मिळविण्यासाठी -2 आणि 1 जोडा.

$$5y-3=-x-1+2y$$

दोन्ही बाजूंना x जोडा.

$$5y-3+x=-1+2y$$

दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$5y-3+x-2y=-1$$

3y मिळविण्यासाठी 5y आणि -2y एकत्र करा.

$$3y-3+x=-1$$

दोन्ही बाजूंना 3 जोडा.

$$3y+x=-1+3$$

2 मिळविण्यासाठी -1 आणि 3 जोडा.

$$3y+x=2$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$7y-4x=14,3y+x=2$$

7y आणि 3y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने गुणाकार करा.

$$3\times 7y+3\left(-4\right)x=3\times 14,7\times 3y+7x=7\times 2$$

सरलीकृत करा.

$$21y-12x=42,21y+7x=14$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 21y-12x=42 मधून 21y+7x=14 वजा करा.

$$21y-21y-12x-7x=42-14$$

21y ते -21y जोडा. 21y आणि -21y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-12x-7x=42-14$$

-12x ते -7x जोडा.

$$-19x=42-14$$

42 ते -14 जोडा.

$$-19x=28$$

दोन्ही बाजूंना -19 ने विभागा.

$$x=-\frac{28}{19}$$

3y+x=2 मध्ये x साठी -\frac{28}{19} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$3y-\frac{28}{19}=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{28}{19} जोडा.

$$3y=\frac{66}{19}$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$y=\frac{22}{19}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{28}{19}$$