{c}{3x-4y=24}{5x+4y=-12} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { c } { 3 x - 4 y = 24 } \\ { 5 x + 4 y = - 12 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y = -\frac{39}{8} = -4\frac{7}{8} = -4.875$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x-4y=24,5x+4y=-12$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x-4y=24$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4y जोडा.

$$3x=4y+24$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y+24\right)$$

24+4y ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{4}{3}y+8$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी 8+\frac{4y}{3} चा विकल्प वापरा, 5x+4y=-12.

$$5\left(\frac{4}{3}y+8\right)+4y=-12$$

8+\frac{4y}{3} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{20}{3}y+40+4y=-12$$

\frac{20y}{3} ते 4y जोडा.

$$\frac{32}{3}y+40=-12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 40 वजा करा.

$$\frac{32}{3}y=-52$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{32}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{39}{8}$$

x=\frac{4}{3}y+8 मध्ये y साठी -\frac{39}{8} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{4}{3}\left(-\frac{39}{8}\right)+8$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{39}{8} चा \frac{4}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{13}{2}+8$$

8 ते -\frac{13}{2} जोडा.

$$x=\frac{3}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{39}{8}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x-4y=24,5x+4y=-12$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-12\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-12\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-4\times 5\right)}&-\frac{-4}{3\times 4-\left(-4\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\times 4-\left(-4\times 5\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-4\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-12\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{32}&\frac{3}{32}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 24+\frac{1}{8}\left(-12\right)\\-\frac{5}{32}\times 24+\frac{3}{32}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-\frac{39}{8}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{39}{8}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x-4y=24,5x+4y=-12$$

3x आणि 5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$5\times 3x+5\left(-4\right)y=5\times 24,3\times 5x+3\times 4y=3\left(-12\right)$$

सरलीकृत करा.

$$15x-20y=120,15x+12y=-36$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 15x-20y=120 मधून 15x+12y=-36 वजा करा.

$$15x-15x-20y-12y=120+36$$

15x ते -15x जोडा. 15x आणि -15x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-20y-12y=120+36$$

-20y ते -12y जोडा.

$$-32y=120+36$$

120 ते 36 जोडा.

$$-32y=156$$

दोन्ही बाजूंना -32 ने विभागा.

$$y=-\frac{39}{8}$$

5x+4y=-12 मध्ये y साठी -\frac{39}{8} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5x+4\left(-\frac{39}{8}\right)=-12$$

-\frac{39}{8} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$5x-\frac{39}{2}=-12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{39}{2} जोडा.

$$5x=\frac{15}{2}$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{3}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{39}{8}$$