{c}{2y+5x=12}{-2x-6y=-24} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 y + 5 x = 12 } \\ { - 2 x - 6 y = - 24 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=\frac{12}{13}\approx 0.923076923$$

$$y = \frac{48}{13} = 3\frac{9}{13} \approx 3.692307692$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2y+5x=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5x वजा करा.

$$2y=-5x+12$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{2}\left(-5x+12\right)$$

-5x+12 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$y=-\frac{5}{2}x+6$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी -\frac{5x}{2}+6 चा विकल्प वापरा, -6y-2x=-24.

$$-6\left(-\frac{5}{2}x+6\right)-2x=-24$$

-\frac{5x}{2}+6 ला -6 वेळा गुणाकार करा.

$$15x-36-2x=-24$$

15x ते -2x जोडा.

$$13x-36=-24$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 36 जोडा.

$$13x=12$$

दोन्ही बाजूंना 13 ने विभागा.

$$x=\frac{12}{13}$$

y=-\frac{5}{2}x+6 मध्ये x साठी \frac{12}{13} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-\frac{5}{2}\times \frac{12}{13}+6$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{12}{13} चा -\frac{5}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$y=-\frac{30}{13}+6$$

6 ते -\frac{30}{13} जोडा.

$$y=\frac{48}{13}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{5}{26}\\\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 12-\frac{5}{26}\left(-24\right)\\\frac{3}{13}\times 12+\frac{1}{13}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{13}\\\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

2y आणि -6y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$-6\times 2y-6\times 5x=-6\times 12,2\left(-6\right)y+2\left(-2\right)x=2\left(-24\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-12y-30x=-72,-12y-4x=-48$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -12y-30x=-72 मधून -12y-4x=-48 वजा करा.

$$-12y+12y-30x+4x=-72+48$$

-12y ते 12y जोडा. -12y आणि 12y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-30x+4x=-72+48$$

-30x ते 4x जोडा.

$$-26x=-72+48$$

-72 ते 48 जोडा.

$$-26x=-24$$

दोन्ही बाजूंना -26 ने विभागा.

$$x=\frac{12}{13}$$

-6y-2x=-24 मध्ये x साठी \frac{12}{13} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$-6y-2\times \frac{12}{13}=-24$$

\frac{12}{13} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$-6y-\frac{24}{13}=-24$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{24}{13} जोडा.

$$-6y=-\frac{288}{13}$$

दोन्ही बाजूंना -6 ने विभागा.

$$y=\frac{48}{13}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$