{c}{2(3x-y)=2(x-5y)-64}{3(3x-2)-2y=30} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 ( 3 x - y ) = 2 ( x - 5 y ) - 64 } \\ { 3 ( 3 x - 2 ) - 2 y = 30 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=2$$

$$y=-9$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला 3x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

2 ला x-5y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

4x मिळविण्यासाठी 6x आणि -2x एकत्र करा.

$$4x-2y=-10y-64$$

दोन्ही बाजूंना 10y जोडा.

$$4x-2y+10y=-64$$

8y मिळविण्यासाठी -2y आणि 10y एकत्र करा.

$$4x+8y=-64$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला 3x-2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$9x-6-2y=30$$

दोन्ही बाजूंना 6 जोडा.

$$9x-2y=30+6$$

36 मिळविण्यासाठी 30 आणि 6 जोडा.

$$9x-2y=36$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x+8y=-64,9x-2y=36$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x+8y=-64$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8y वजा करा.

$$4x=-8y-64$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(-8y-64\right)$$

-8y-64 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-2y-16$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -2y-16 चा विकल्प वापरा, 9x-2y=36.

$$9\left(-2y-16\right)-2y=36$$

-2y-16 ला 9 वेळा गुणाकार करा.

$$-18y-144-2y=36$$

-18y ते -2y जोडा.

$$-20y-144=36$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 144 जोडा.

$$-20y=180$$

दोन्ही बाजूंना -20 ने विभागा.

$$y=-9$$

x=-2y-16 मध्ये y साठी -9 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-2\left(-9\right)-16$$

-9 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=18-16$$

-16 ते 18 जोडा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=-9$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला 3x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

2 ला x-5y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

4x मिळविण्यासाठी 6x आणि -2x एकत्र करा.

$$4x-2y=-10y-64$$

दोन्ही बाजूंना 10y जोडा.

$$4x-2y+10y=-64$$

8y मिळविण्यासाठी -2y आणि 10y एकत्र करा.

$$4x+8y=-64$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला 3x-2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$9x-6-2y=30$$

दोन्ही बाजूंना 6 जोडा.

$$9x-2y=30+6$$

36 मिळविण्यासाठी 30 आणि 6 जोडा.

$$9x-2y=36$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x+8y=-64,9x-2y=36$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-8\times 9}&-\frac{8}{4\left(-2\right)-8\times 9}\\-\frac{9}{4\left(-2\right)-8\times 9}&\frac{4}{4\left(-2\right)-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}&\frac{1}{10}\\\frac{9}{80}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}\left(-64\right)+\frac{1}{10}\times 36\\\frac{9}{80}\left(-64\right)-\frac{1}{20}\times 36\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=2,y=-9$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला 3x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

2 ला x-5y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

4x मिळविण्यासाठी 6x आणि -2x एकत्र करा.

$$4x-2y=-10y-64$$

दोन्ही बाजूंना 10y जोडा.

$$4x-2y+10y=-64$$

8y मिळविण्यासाठी -2y आणि 10y एकत्र करा.

$$4x+8y=-64$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला 3x-2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$9x-6-2y=30$$

दोन्ही बाजूंना 6 जोडा.

$$9x-2y=30+6$$

36 मिळविण्यासाठी 30 आणि 6 जोडा.

$$9x-2y=36$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x+8y=-64,9x-2y=36$$

4x आणि 9x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 9 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$9\times 4x+9\times 8y=9\left(-64\right),4\times 9x+4\left(-2\right)y=4\times 36$$

सरलीकृत करा.

$$36x+72y=-576,36x-8y=144$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 36x+72y=-576 मधून 36x-8y=144 वजा करा.

$$36x-36x+72y+8y=-576-144$$

36x ते -36x जोडा. 36x आणि -36x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$72y+8y=-576-144$$

72y ते 8y जोडा.

$$80y=-576-144$$

-576 ते -144 जोडा.

$$80y=-720$$

दोन्ही बाजूंना 80 ने विभागा.

$$y=-9$$

9x-2y=36 मध्ये y साठी -9 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$9x-2\left(-9\right)=36$$

-9 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$9x+18=36$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 18 वजा करा.

$$9x=18$$

दोन्ही बाजूंना 9 ने विभागा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=-9$$