{c}{2(2x+y)-5=3(x+1)+y}{4(x+2)-3(3+y)=5x-4y+1} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 ( 2 x + y ) - 5 = 3 ( x + 1 ) + y } \\ { 4 ( x + 2 ) - 3 ( 3 + y ) = 5 x - 4 y + 1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=3$$

$$y=5$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला 2x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x+2y-5=3\left(x+1\right)+y$$

3 ला x+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x+2y-5=3x+3+y$$

दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$4x+2y-5-3x=3+y$$

x मिळविण्यासाठी 4x आणि -3x एकत्र करा.

$$x+2y-5=3+y$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$x+2y-5-y=3$$

y मिळविण्यासाठी 2y आणि -y एकत्र करा.

$$x+y-5=3$$

दोन्ही बाजूंना 5 जोडा.

$$x+y=3+5$$

8 मिळविण्यासाठी 3 आणि 5 जोडा.

$$x+y=8$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 4 ला x+2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x+8-3\left(3+y\right)=5x-4y+1$$

-3 ला 3+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x+8-9-3y=5x-4y+1$$

-1 मिळविण्यासाठी 8 मधून 9 वजा करा.

$$4x-1-3y=5x-4y+1$$

दोन्ही बाजूंकडून 5x वजा करा.

$$4x-1-3y-5x=-4y+1$$

-x मिळविण्यासाठी 4x आणि -5x एकत्र करा.

$$-x-1-3y=-4y+1$$

दोन्ही बाजूंना 4y जोडा.

$$-x-1-3y+4y=1$$

y मिळविण्यासाठी -3y आणि 4y एकत्र करा.

$$-x-1+y=1$$

दोन्ही बाजूंना 1 जोडा.

$$-x+y=1+1$$

2 मिळविण्यासाठी 1 आणि 1 जोडा.

$$-x+y=2$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+y=8,-x+y=2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+y=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$x=-y+8$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+8 चा विकल्प वापरा, -x+y=2.

$$-\left(-y+8\right)+y=2$$

-y+8 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$y-8+y=2$$

y ते y जोडा.

$$2y-8=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 8 जोडा.

$$2y=10$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=5$$

x=-y+8 मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-5+8$$

8 ते -5 जोडा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=5$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला 2x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x+2y-5=3\left(x+1\right)+y$$

3 ला x+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x+2y-5=3x+3+y$$

दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$4x+2y-5-3x=3+y$$

x मिळविण्यासाठी 4x आणि -3x एकत्र करा.

$$x+2y-5=3+y$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$x+2y-5-y=3$$

y मिळविण्यासाठी 2y आणि -y एकत्र करा.

$$x+y-5=3$$

दोन्ही बाजूंना 5 जोडा.

$$x+y=3+5$$

8 मिळविण्यासाठी 3 आणि 5 जोडा.

$$x+y=8$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 4 ला x+2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x+8-3\left(3+y\right)=5x-4y+1$$

-3 ला 3+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x+8-9-3y=5x-4y+1$$

-1 मिळविण्यासाठी 8 मधून 9 वजा करा.

$$4x-1-3y=5x-4y+1$$

दोन्ही बाजूंकडून 5x वजा करा.

$$4x-1-3y-5x=-4y+1$$

-x मिळविण्यासाठी 4x आणि -5x एकत्र करा.

$$-x-1-3y=-4y+1$$

दोन्ही बाजूंना 4y जोडा.

$$-x-1-3y+4y=1$$

y मिळविण्यासाठी -3y आणि 4y एकत्र करा.

$$-x-1+y=1$$

दोन्ही बाजूंना 1 जोडा.

$$-x+y=1+1$$

2 मिळविण्यासाठी 1 आणि 1 जोडा.

$$-x+y=2$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+y=8,-x+y=2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 8-\frac{1}{2}\times 2\\\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=3,y=5$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला 2x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x+2y-5=3\left(x+1\right)+y$$

3 ला x+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x+2y-5=3x+3+y$$

दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$4x+2y-5-3x=3+y$$

x मिळविण्यासाठी 4x आणि -3x एकत्र करा.

$$x+2y-5=3+y$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$x+2y-5-y=3$$

y मिळविण्यासाठी 2y आणि -y एकत्र करा.

$$x+y-5=3$$

दोन्ही बाजूंना 5 जोडा.

$$x+y=3+5$$

8 मिळविण्यासाठी 3 आणि 5 जोडा.

$$x+y=8$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 4 ला x+2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x+8-3\left(3+y\right)=5x-4y+1$$

-3 ला 3+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x+8-9-3y=5x-4y+1$$

-1 मिळविण्यासाठी 8 मधून 9 वजा करा.

$$4x-1-3y=5x-4y+1$$

दोन्ही बाजूंकडून 5x वजा करा.

$$4x-1-3y-5x=-4y+1$$

-x मिळविण्यासाठी 4x आणि -5x एकत्र करा.

$$-x-1-3y=-4y+1$$

दोन्ही बाजूंना 4y जोडा.

$$-x-1-3y+4y=1$$

y मिळविण्यासाठी -3y आणि 4y एकत्र करा.

$$-x-1+y=1$$

दोन्ही बाजूंना 1 जोडा.

$$-x+y=1+1$$

2 मिळविण्यासाठी 1 आणि 1 जोडा.

$$-x+y=2$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+y=8,-x+y=2$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून x+y=8 मधून -x+y=2 वजा करा.

$$x+x+y-y=8-2$$

y ते -y जोडा. y आणि -y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$x+x=8-2$$

x ते x जोडा.

$$2x=8-2$$

8 ते -2 जोडा.

$$2x=6$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=3$$

-x+y=2 मध्ये x साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$-3+y=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3 जोडा.

$$y=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=5$$