{c}{-3(3x-y)=2(y+x)}{-3(2x+y)=2(x-3y)} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { c } { - 3 ( 3 x - y ) = 2 ( y + x ) } \\ { - 3 ( 2 x + y ) = 2 ( x - 3 y ) } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=0$$

$$y=0$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. -3 ला 3x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

2 ला y+x ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$-9x+3y=2y+2x$$

दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$-9x+3y-2y=2x$$

y मिळविण्यासाठी 3y आणि -2y एकत्र करा.

$$-9x+y=2x$$

दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$-9x+y-2x=0$$

-11x मिळविण्यासाठी -9x आणि -2x एकत्र करा.

$$-11x+y=0$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. -3 ला 2x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

2 ला x-3y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$-6x-3y=2x-6y$$

दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

-8x मिळविण्यासाठी -6x आणि -2x एकत्र करा.

$$-8x-3y=-6y$$

दोन्ही बाजूंना 6y जोडा.

$$-8x-3y+6y=0$$

3y मिळविण्यासाठी -3y आणि 6y एकत्र करा.

$$-8x+3y=0$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-11x+y=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$-11x=-y$$

दोन्ही बाजूंना -11 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{11}\left(-1\right)y$$

-y ला -\frac{1}{11} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{11}y$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{y}{11} चा विकल्प वापरा, -8x+3y=0.

$$-8\times \frac{1}{11}y+3y=0$$

\frac{y}{11} ला -8 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{8}{11}y+3y=0$$

-\frac{8y}{11} ते 3y जोडा.

$$\frac{25}{11}y=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{25}{11} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=0$$

x=\frac{1}{11}y मध्ये y साठी 0 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=0$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=0,y=0$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. -3 ला 3x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

2 ला y+x ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$-9x+3y=2y+2x$$

दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$-9x+3y-2y=2x$$

y मिळविण्यासाठी 3y आणि -2y एकत्र करा.

$$-9x+y=2x$$

दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$-9x+y-2x=0$$

-11x मिळविण्यासाठी -9x आणि -2x एकत्र करा.

$$-11x+y=0$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. -3 ला 2x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

2 ला x-3y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$-6x-3y=2x-6y$$

दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

-8x मिळविण्यासाठी -6x आणि -2x एकत्र करा.

$$-8x-3y=-6y$$

दोन्ही बाजूंना 6y जोडा.

$$-8x-3y+6y=0$$

3y मिळविण्यासाठी -3y आणि 6y एकत्र करा.

$$-8x+3y=0$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{1}{-11\times 3-\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{11}{-11\times 3-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{25}&\frac{1}{25}\\-\frac{8}{25}&\frac{11}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=0,y=0$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. -3 ला 3x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

2 ला y+x ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$-9x+3y=2y+2x$$

दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$-9x+3y-2y=2x$$

y मिळविण्यासाठी 3y आणि -2y एकत्र करा.

$$-9x+y=2x$$

दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$-9x+y-2x=0$$

-11x मिळविण्यासाठी -9x आणि -2x एकत्र करा.

$$-11x+y=0$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. -3 ला 2x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

2 ला x-3y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$-6x-3y=2x-6y$$

दोन्ही बाजूंकडून 2x वजा करा.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

-8x मिळविण्यासाठी -6x आणि -2x एकत्र करा.

$$-8x-3y=-6y$$

दोन्ही बाजूंना 6y जोडा.

$$-8x-3y+6y=0$$

3y मिळविण्यासाठी -3y आणि 6y एकत्र करा.

$$-8x+3y=0$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

-11x आणि -8x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -8 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -11 ने गुणाकार करा.

$$-8\left(-11\right)x-8y=0,-11\left(-8\right)x-11\times 3y=0$$

सरलीकृत करा.

$$88x-8y=0,88x-33y=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 88x-8y=0 मधून 88x-33y=0 वजा करा.

$$88x-88x-8y+33y=0$$

88x ते -88x जोडा. 88x आणि -88x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-8y+33y=0$$

-8y ते 33y जोडा.

$$25y=0$$

दोन्ही बाजूंना 25 ने विभागा.

$$y=0$$

-8x+3y=0 मध्ये y साठी 0 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-8x=0$$

दोन्ही बाजूंना -8 ने विभागा.

$$x=0$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=0,y=0$$