∫ (from 0 to 4) of (6-(4-sqrt{x})^2) wrt x सोडवा

$$\int _ { 0 } ^ { 4 } ( 6 - ( 4 - \sqrt { x } ) ^ { 2 } ) d x$$

मूल्यांकन करा

$$-\frac{16}{3}\approx -5.333333333$$

निरसन चरणे

\left(4-\sqrt{x}\right)^{2} विस्तारीत करण्यासाठी द्विपदीय प्रमेय वापरा \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+\left(\sqrt{x}\right)^{2}\right)\mathrm{d}x$$

2 च्या पॉवरसाठी \sqrt{x} मोजा आणि x मिळवा.

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+x\right)\mathrm{d}x$$

16-8\sqrt{x}+x च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$\int _{0}^{4}6-16+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

-10 मिळविण्यासाठी 6 मधून 16 वजा करा.

$$\int _{0}^{4}-10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

प्रथम अनिश्चित पूर्णांकाचे मूल्यांकन करा.

$$\int -10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

टर्मनुसार बेरीज मूल्यांकित करा.

$$\int -10\mathrm{d}x+\int 8\sqrt{x}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

प्रत्येक टर्ममधील स्थिर घटक काढा.

$$\int -10\mathrm{d}x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

पूर्णांक सारणीचा नियम \int a\mathrm{d}x=ax वापरून, -10 चा पूर्णांक शोधा.

$$-10x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

x^{\frac{1}{2}} प्रमाणे \sqrt{x} पुन्हा लिहा. k\neq -1 साठी \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} तर, \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x हा \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} ने बदला. सरलीकृत करा. \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3} ला 8 वेळा गुणाकार करा.

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\int x\mathrm{d}x$$

k\neq -1 साठी \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} तर, \int x\mathrm{d}x हा \frac{x^{2}}{2} ने बदला. \frac{x^{2}}{2} ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

सरलीकृत करा.

$$-10x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

बहुपदीचा निश्चित पूर्णांक हा पूर्णांकाच्या उच्च मर्यादेला मूल्यांकित केलेल्या बहुपदीचे कृदंत आणि पूर्णांकाच्या निम्न मर्यादेला मूल्यांकित केलेल्या बहुपदीचे कृदंत यांची वजाबाकी असते.

$$-10\times 4-\frac{4^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}-\left(-10\times 0-\frac{0^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-\frac{16}{3}$$