∫ (from 0 to 2) of (4x-x^3)^2 wrt x सोडवा

$$\int _ { 0 } ^ { 2 } ( 4 x - x ^ { 3 } ) ^ { 2 } d x$$

मूल्यांकन करा

$$\frac{1024}{105}\approx 9.752380952$$

निरसन चरणे

\left(4x-x^{3}\right)^{2} विस्तारीत करण्यासाठी द्विपदीय प्रमेय वापरा \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\int _{0}^{2}16x^{2}-8xx^{3}+\left(x^{3}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

समान पाया असलेल्या घातांचा गुणाकार करण्यासाठी, त्यांचे घातांक जोडा. 4 मिळविण्यासाठी 1 आणि 3 जोडा.

$$\int _{0}^{2}16x^{2}-8x^{4}+\left(x^{3}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

दुसर्‍या घातामध्ये एक घात करण्यासाठी, घातांकांचा गुणाकार करा. 6 मिळविण्यासाठी 3 आणि 2 चा गुणाकार करा.

$$\int _{0}^{2}16x^{2}-8x^{4}+x^{6}\mathrm{d}x$$

प्रथम अनिश्चित पूर्णांकाचे मूल्यांकन करा.

$$\int 16x^{2}-8x^{4}+x^{6}\mathrm{d}x$$

टर्मनुसार बेरीज मूल्यांकित करा.

$$\int 16x^{2}\mathrm{d}x+\int -8x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

प्रत्येक टर्ममधील स्थिर घटक काढा.

$$16\int x^{2}\mathrm{d}x-8\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

k\neq -1 साठी \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} तर, \int x^{2}\mathrm{d}x हा \frac{x^{3}}{3} ने बदला. \frac{x^{3}}{3} ला 16 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{16x^{3}}{3}-8\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

k\neq -1 साठी \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} तर, \int x^{4}\mathrm{d}x हा \frac{x^{5}}{5} ने बदला. \frac{x^{5}}{5} ला -8 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{16x^{3}}{3}-\frac{8x^{5}}{5}+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

k\neq -1 साठी \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} तर, \int x^{6}\mathrm{d}x हा \frac{x^{7}}{7} ने बदला.

$$\frac{16x^{3}}{3}-\frac{8x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{7}$$

सरलीकृत करा.

$$\frac{x^{7}}{7}-\frac{8x^{5}}{5}+\frac{16x^{3}}{3}$$

बहुपदीचा निश्चित पूर्णांक हा पूर्णांकाच्या उच्च मर्यादेला मूल्यांकित केलेल्या बहुपदीचे कृदंत आणि पूर्णांकाच्या निम्न मर्यादेला मूल्यांकित केलेल्या बहुपदीचे कृदंत यांची वजाबाकी असते.

$$\frac{2^{7}}{7}-\frac{8}{5}\times 2^{5}+\frac{16}{3}\times 2^{3}-\left(\frac{0^{7}}{7}-\frac{8}{5}\times 0^{5}+\frac{16}{3}\times 0^{3}\right)$$

सरलीकृत करा.

$$\frac{1024}{105}$$