x/7+y/3=5;-x/14+3y=26 सोडवा

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

x, y साठी सोडवा

$$x=14$$

$$y=9$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 21 ने गुणाकार करा, 7,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3x+7y=105$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 14 ने गुणाकार करा.

$$-x+42y=364$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+7y=105$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 7y वजा करा.

$$3x=-7y+105$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

-7y+105 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{7y}{3}+35 चा विकल्प वापरा, -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

-\frac{7y}{3}+35 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

\frac{7y}{3} ते 42y जोडा.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 35 जोडा.

$$\frac{133}{3}y=399$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{133}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=9$$

x=-\frac{7}{3}y+35 मध्ये y साठी 9 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

9 ला -\frac{7}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-21+35$$

35 ते -21 जोडा.

$$x=14$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=14,y=9$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 21 ने गुणाकार करा, 7,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3x+7y=105$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 14 ने गुणाकार करा.

$$-x+42y=364$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=14,y=9$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 21 ने गुणाकार करा, 7,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3x+7y=105$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 14 ने गुणाकार करा.

$$-x+42y=364$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

3x आणि -x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

सरलीकृत करा.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -3x-7y=-105 मधून -3x+126y=1092 वजा करा.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

-3x ते 3x जोडा. -3x आणि 3x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-7y-126y=-105-1092$$

-7y ते -126y जोडा.

$$-133y=-105-1092$$

-105 ते -1092 जोडा.

$$-133y=-1197$$

दोन्ही बाजूंना -133 ने विभागा.

$$y=9$$

-x+42y=364 मध्ये y साठी 9 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-x+42\times 9=364$$

9 ला 42 वेळा गुणाकार करा.

$$-x+378=364$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 378 वजा करा.

$$-x=-14$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$x=14$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=14,y=9$$