x/5=y/4;y/3=x/3-1 सोडवा

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

x, y साठी सोडवा

$$x=15$$

$$y=12$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 20 ने गुणाकार करा, 5,4 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$4x=5y$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

5y ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{5}{4}y$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{5y}{4} चा विकल्प वापरा, -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

-\frac{5y}{4} ते y जोडा.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने गुणाकार करा.

$$y=12$$

x=\frac{5}{4}y मध्ये y साठी 12 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

12 ला \frac{5}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=15$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=15,y=12$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 20 ने गुणाकार करा, 5,4 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$4x=5y$$

दोन्ही बाजूंकडून 5y वजा करा.

$$4x-5y=0$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$y=x-3$$

दोन्ही बाजूंकडून x वजा करा.

$$y-x=-3$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=15,y=12$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 20 ने गुणाकार करा, 5,4 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$4x=5y$$

दोन्ही बाजूंकडून 5y वजा करा.

$$4x-5y=0$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$y=x-3$$

दोन्ही बाजूंकडून x वजा करा.

$$y-x=-3$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

4x आणि -x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -4x+5y=0 मधून -4x+4y=-12 वजा करा.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

-4x ते 4x जोडा. -4x आणि 4x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$5y-4y=12$$

5y ते -4y जोडा.

$$y=12$$

-x+y=-3 मध्ये y साठी 12 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-x+12=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 12 वजा करा.

$$-x=-15$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$x=15$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=15,y=12$$