Atrisiniet z^6-z^3+1=0

$$z ^ { 6 } - z ^ { 3 } + 1 = 0$$

Atrast z

$$z\in e^{\frac{5\pi i}{9}},e^{\frac{17\pi i}{9}},e^{\frac{11\pi i}{9}},e^{\frac{13\pi i}{9}},e^{\frac{\pi i}{9}},e^{\frac{7\pi i}{9}}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Aizvietojiet t ar z^{3}.

$$t^{2}-t+1=0$$

Visus formas ax^{2}+bx+c=0 vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātsaknes formulu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrātsaknes formulā aizstājiet a ar 1, b ar -1 un c ar 1.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Veiciet aprēķinus.

$$t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}$$

Atrisiniet vienādojumu t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}, ja ± ir pluss un ± ir mīnuss.

$$t=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} t=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Tā kā z=t^{3}, risinājumi tiek iegūti, atrisinot vienādojumu ar katru t vērtību.

$$z=-e^{\frac{4\pi i}{9}} z=ie^{\frac{5\pi i}{18}} z=e^{\frac{\pi i}{9}} z=-ie^{\frac{7\pi i}{18}} z=-e^{\frac{2\pi i}{9}} z=ie^{\frac{\pi i}{18}}$$