Atrisiniet y-3x=2text{and}7x-2y=8

$$y - 3 x = 2 \text { and } 7 x - 2 y = 8$$

Atrast y, x

$$x=12$$

$$y=38$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet y, izolējot y pa kreisi no vienādības zīmes.

$$y-3x=2$$

Pieskaitiet 3x abās vienādojuma pusēs.

$$y=3x+2$$

Ar 3x+2 aizvietojiet y otrā vienādojumā -2y+7x=8.

$$-2\left(3x+2\right)+7x=8$$

Reiziniet -2 reiz 3x+2.

$$-6x-4+7x=8$$

Pieskaitiet -6x pie 7x.

$$x-4=8$$

Pieskaitiet 4 abās vienādojuma pusēs.

$$x=12$$

Aizvietojiet x ar 12 vienādojumā y=3x+2. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt y.

$$y=3\times 12+2$$

Reiziniet 3 reiz 12.

$$y=36+2$$

Pieskaitiet 2 pie 36.

$$y=38$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$y=38,x=12$$

Darbības, izmantojot matricas

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 2+3\times 8\\2\times 2+8\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\12\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus y un x.

$$y=38,x=12$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Lai vienādotu y un -2y, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar -2, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 1.

$$-2y-2\left(-3\right)x=-2\times 2,-2y+7x=8$$

Vienkāršojiet.

$$-2y+6x=-4,-2y+7x=8$$

Atņemiet -2y+7x=8 no -2y+6x=-4 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$-2y+2y+6x-7x=-4-8$$

Pieskaitiet -2y pie 2y. Locekļus -2y un 2y saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$6x-7x=-4-8$$

Pieskaitiet 6x pie -7x.

$$-x=-4-8$$

Pieskaitiet -4 pie -8.

$$-x=-12$$

Daliet abas puses ar -1.

$$x=12$$

Aizvietojiet x ar 12 vienādojumā -2y+7x=8. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt y.

$$-2y+7\times 12=8$$

Reiziniet 7 reiz 12.

$$-2y+84=8$$

Atņemiet 84 no vienādojuma abām pusēm.

$$-2y=-76$$

Daliet abas puses ar -2.

$$y=38$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$y=38,x=12$$