Atrisiniet y^2-42y+216=0

$$y ^ { 2 } - 42 y + 216 = 0$$

Atrast y

$$y=6$$

$$y=36$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos

Lai atrisinātu vienādojumu, y^{2}-42y+216, izmantojot formulu y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-42 ab=216$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir negatīvs, a un b ir negatīvas. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu 216.

$$-1,-216 -2,-108 -3,-72 -4,-54 -6,-36 -8,-27 -9,-24 -12,-18$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1-216=-217 -2-108=-110 -3-72=-75 -4-54=-58 -6-36=-42 -8-27=-35 -9-24=-33 -12-18=-30$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -42.

$$a=-36 b=-6$$

Pārrakstiet reizinātājos sadalīto izteiksmi \left(y+a\right)\left(y+b\right), izmantojot iegūtās vērtības.

$$\left(y-36\right)\left(y-6\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet y-36=0 un y-6=0.

$$y=36 y=6$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā y^{2}+ay+by+216. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-42 ab=1\times 216=216$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir negatīvs, a un b ir negatīvas. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu 216.

$$-1,-216 -2,-108 -3,-72 -4,-54 -6,-36 -8,-27 -9,-24 -12,-18$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1-216=-217 -2-108=-110 -3-72=-75 -4-54=-58 -6-36=-42 -8-27=-35 -9-24=-33 -12-18=-30$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -42.

$$a=-36 b=-6$$

Pārrakstiet y^{2}-42y+216 kā \left(y^{2}-36y\right)+\left(-6y+216\right).

$$\left(y^{2}-36y\right)+\left(-6y+216\right)$$

Sadaliet y pirmo un -6 otrajā grupā.

$$y\left(y-36\right)-6\left(y-36\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju y-36 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(y-36\right)\left(y-6\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet y-36=0 un y-6=0.

$$y=36 y=6$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$y^{2}-42y+216=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 1, b ar -42 un c ar 216.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{\left(-42\right)^{2}-4\times 216}}{2}$$

Kāpiniet -42 kvadrātā.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-4\times 216}}{2}$$

Reiziniet -4 reiz 216.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-864}}{2}$$

Pieskaitiet 1764 pie -864.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{900}}{2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 900.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±30}{2}$$

Skaitļa -42 pretstats ir 42.

$$y=\frac{42±30}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu y=\frac{42±30}{2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 42 pie 30.

$$y=\frac{72}{2}$$

Daliet 72 ar 2.

$$y=36$$

Tagad atrisiniet vienādojumu y=\frac{42±30}{2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 30 no 42.

$$y=\frac{12}{2}$$

Daliet 12 ar 2.

$$y=6$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$y=36 y=6$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-42y+216=0$$

Atņemiet 216 no vienādojuma abām pusēm.

$$y^{2}-42y+216-216=-216$$

Atņemot 216 no sevis, paliek 0.

$$y^{2}-42y=-216$$

Daliet locekļa x koeficientu -42 ar 2, lai iegūtu -21. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -21 kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$y^{2}-42y+\left(-21\right)^{2}=-216+\left(-21\right)^{2}$$

Kāpiniet -21 kvadrātā.

$$y^{2}-42y+441=-216+441$$

Pieskaitiet -216 pie 441.

$$y^{2}-42y+441=225$$

Sadaliet reizinātājos y^{2}-42y+441. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-21\right)^{2}=225$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(y-21\right)^{2}}=\sqrt{225}$$

Vienkāršojiet.

$$y-21=15 y-21=-15$$

Pieskaitiet 21 abās vienādojuma pusēs.

$$y=36 y=6$$