Atrisiniet y=2x-1text{and}2x+y=3

$$y = 2 x - 1 \text { and } 2 x + y = 3$$

Atrast y, x

$$x=1$$

$$y=1$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Apsveriet pirmo vienādojumu. Atņemiet 2x no abām pusēm.

$$y-2x=-1$$

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet y, izolējot y pa kreisi no vienādības zīmes.

$$y-2x=-1$$

Pieskaitiet 2x abās vienādojuma pusēs.

$$y=2x-1$$

Ar 2x-1 aizvietojiet y otrā vienādojumā y+2x=3.

$$2x-1+2x=3$$

Pieskaitiet 2x pie 2x.

$$4x-1=3$$

Pieskaitiet 1 abās vienādojuma pusēs.

$$4x=4$$

Daliet abas puses ar 4.

$$x=1$$

Aizvietojiet x ar 1 vienādojumā y=2x-1. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt y.

$$y=2-1$$

Pieskaitiet -1 pie 2.

$$y=1$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$y=1,x=1$$

Darbības, izmantojot matricas

Apsveriet pirmo vienādojumu. Atņemiet 2x no abām pusēm.

$$y-2x=-1$$

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus y un x.

$$y=1,x=1$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Apsveriet pirmo vienādojumu. Atņemiet 2x no abām pusēm.

$$y-2x=-1$$

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Atņemiet y+2x=3 no y-2x=-1 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$y-y-2x-2x=-1-3$$

Pieskaitiet y pie -y. Locekļus y un -y saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$-2x-2x=-1-3$$

Pieskaitiet -2x pie -2x.

$$-4x=-1-3$$

Pieskaitiet -1 pie -3.

$$-4x=-4$$

Daliet abas puses ar -4.

$$x=1$$

Aizvietojiet x ar 1 vienādojumā y+2x=3. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt y.

$$y+2=3$$

Atņemiet 2 no vienādojuma abām pusēm.

$$y=1$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$y=1,x=1$$