Atrisiniet y=2x+1text{and}x+y=7

$$y = 2 x + 1 \text { and } x + y = 7$$

Atrast y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Apsveriet pirmo vienādojumu. Atņemiet 2x no abām pusēm.

$$y-2x=1$$

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet y, izolējot y pa kreisi no vienādības zīmes.

$$y-2x=1$$

Pieskaitiet 2x abās vienādojuma pusēs.

$$y=2x+1$$

Ar 2x+1 aizvietojiet y otrā vienādojumā y+x=7.

$$2x+1+x=7$$

Pieskaitiet 2x pie x.

$$3x+1=7$$

Atņemiet 1 no vienādojuma abām pusēm.

$$3x=6$$

Daliet abas puses ar 3.

$$x=2$$

Aizvietojiet x ar 2 vienādojumā y=2x+1. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt y.

$$y=2\times 2+1$$

Reiziniet 2 reiz 2.

$$y=4+1$$

Pieskaitiet 1 pie 4.

$$y=5$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$y=5,x=2$$

Darbības, izmantojot matricas

Apsveriet pirmo vienādojumu. Atņemiet 2x no abām pusēm.

$$y-2x=1$$

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 7\\-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus y un x.

$$y=5,x=2$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Apsveriet pirmo vienādojumu. Atņemiet 2x no abām pusēm.

$$y-2x=1$$

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Atņemiet y+x=7 no y-2x=1 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$y-y-2x-x=1-7$$

Pieskaitiet y pie -y. Locekļus y un -y saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$-2x-x=1-7$$

Pieskaitiet -2x pie -x.

$$-3x=1-7$$

Pieskaitiet 1 pie -7.

$$-3x=-6$$

Daliet abas puses ar -3.

$$x=2$$

Aizvietojiet x ar 2 vienādojumā y+x=7. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt y.

$$y+2=7$$

Atņemiet 2 no vienādojuma abām pusēm.

$$y=5$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$y=5,x=2$$