Atrisiniet x=-16x^2+81x+5

$$x=-16 { x }^{ 2 } +81x+5$$

Atrast x

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}\approx 5,061737691$$

$$x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}\approx -0,061737691$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Pievienot 16x^{2} abās pusēs.

$$x+16x^{2}=81x+5$$

Atņemiet 81x no abām pusēm.

$$x+16x^{2}-81x=5$$

Savelciet x un -81x, lai iegūtu -80x.

$$-80x+16x^{2}=5$$

Atņemiet 5 no abām pusēm.

$$-80x+16x^{2}-5=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$16x^{2}-80x-5=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 16, b ar -80 un c ar -5.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\times 16\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

Kāpiniet -80 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\times 16\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

Reiziniet -4 reiz 16.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-64\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

Reiziniet -64 reiz -5.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400+320}}{2\times 16}$$

Pieskaitiet 6400 pie 320.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6720}}{2\times 16}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 6720.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±8\sqrt{105}}{2\times 16}$$

Skaitļa -80 pretstats ir 80.

$$x=\frac{80±8\sqrt{105}}{2\times 16}$$

Reiziniet 2 reiz 16.

$$x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 80 pie 8\sqrt{105}.

$$x=\frac{8\sqrt{105}+80}{32}$$

Daliet 80+8\sqrt{105} ar 32.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 8\sqrt{105} no 80.

$$x=\frac{80-8\sqrt{105}}{32}$$

Daliet 80-8\sqrt{105} ar 32.

$$x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Pievienot 16x^{2} abās pusēs.

$$x+16x^{2}=81x+5$$

Atņemiet 81x no abām pusēm.

$$x+16x^{2}-81x=5$$

Savelciet x un -81x, lai iegūtu -80x.

$$-80x+16x^{2}=5$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-80x=5$$

Daliet abas puses ar 16.

$$\frac{16x^{2}-80x}{16}=\frac{5}{16}$$

Dalīšana ar 16 atsauc reizināšanu ar 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{80}{16}\right)x=\frac{5}{16}$$

Daliet -80 ar 16.

$$x^{2}-5x=\frac{5}{16}$$

Daliet locekļa x koeficientu -5 ar 2, lai iegūtu -\frac{5}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{5}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{5}{16}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{5}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{5}{16}+\frac{25}{4}$$

Pieskaitiet \frac{5}{16} pie \frac{25}{4}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{105}{16}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{105}}{4} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

Pieskaitiet \frac{5}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$