Atrisiniet x-y=5text{and}5y-4x=7

$$x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Atrast x, y

$$x=32$$

$$y=27$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$x-y=5$$

Pieskaitiet y abās vienādojuma pusēs.

$$x=y+5$$

Ar y+5 aizvietojiet x otrā vienādojumā -4x+5y=7.

$$-4\left(y+5\right)+5y=7$$

Reiziniet -4 reiz y+5.

$$-4y-20+5y=7$$

Pieskaitiet -4y pie 5y.

$$y-20=7$$

Pieskaitiet 20 abās vienādojuma pusēs.

$$y=27$$

Aizvietojiet y ar 27 vienādojumā x=y+5. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=27+5$$

Pieskaitiet 5 pie 27.

$$x=32$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=32,y=27$$

Darbības, izmantojot matricas

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 5+7\\4\times 5+7\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\27\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=32,y=27$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Lai vienādotu x un -4x, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar -4, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 1.

$$-4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,-4x+5y=7$$

Vienkāršojiet.

$$-4x+4y=-20,-4x+5y=7$$

Atņemiet -4x+5y=7 no -4x+4y=-20 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$-4x+4x+4y-5y=-20-7$$

Pieskaitiet -4x pie 4x. Locekļus -4x un 4x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$4y-5y=-20-7$$

Pieskaitiet 4y pie -5y.

$$-y=-20-7$$

Pieskaitiet -20 pie -7.

$$-y=-27$$

Daliet abas puses ar -1.

$$y=27$$

Aizvietojiet y ar 27 vienādojumā -4x+5y=7. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$-4x+5\times 27=7$$

Reiziniet 5 reiz 27.

$$-4x+135=7$$

Atņemiet 135 no vienādojuma abām pusēm.

$$-4x=-128$$

Daliet abas puses ar -4.

$$x=32$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=32,y=27$$