Atrisiniet x(2x+1)-(x-1)^2/2=3

$$x ( 2 x + 1 ) - \frac { ( x - 1 ) ^ { 2 } } { 2 } = 3$$

Atrast x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=1$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Reiziniet vienādojuma abas puses ar 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 2x ar 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

Lai atrastu x^{2}-2x+1 pretējo vērtību, atrodiet katra locekļa pretējo vērtību.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Savelciet 4x^{2} un -x^{2}, lai iegūtu 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Savelciet 2x un 2x, lai iegūtu 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Atņemiet 6 no abām pusēm.

$$3x^{2}+4x-1-6=0$$

Atņemiet 6 no -1, lai iegūtu -7.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 3x^{2}+ax+bx-7. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=4 ab=3\left(-7\right)=-21$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvam skaitlim ir lielāks absolūtā vērtība nekā negatīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -21.

$$-1,21 -3,7$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 4.

$$a=-3 b=7$$

Pārrakstiet 3x^{2}+4x-7 kā \left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right)$$

Sadaliet 3x pirmo un 7 otrajā grupā.

$$3x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju x-1 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-1\right)\left(3x+7\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-1=0 un 3x+7=0.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Reiziniet vienādojuma abas puses ar 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 2x ar 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

Lai atrastu x^{2}-2x+1 pretējo vērtību, atrodiet katra locekļa pretējo vērtību.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Savelciet 4x^{2} un -x^{2}, lai iegūtu 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Savelciet 2x un 2x, lai iegūtu 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Atņemiet 6 no abām pusēm.

$$3x^{2}+4x-1-6=0$$

Atņemiet 6 no -1, lai iegūtu -7.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 3, b ar 4 un c ar -7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Kāpiniet 4 kvadrātā.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Reiziniet -4 reiz 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Reiziniet -12 reiz -7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+84}}{2\times 3}$$

Pieskaitiet 16 pie 84.

$$x=\frac{-4±\sqrt{100}}{2\times 3}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 100.

$$x=\frac{-4±10}{2\times 3}$$

Reiziniet 2 reiz 3.

$$x=\frac{-4±10}{6}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-4±10}{6}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -4 pie 10.

$$x=\frac{6}{6}$$

Daliet 6 ar 6.

$$x=1$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-4±10}{6}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 10 no -4.

$$x=-\frac{14}{6}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-14}{6} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Reiziniet vienādojuma abas puses ar 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 2x ar 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

Lai atrastu x^{2}-2x+1 pretējo vērtību, atrodiet katra locekļa pretējo vērtību.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Savelciet 4x^{2} un -x^{2}, lai iegūtu 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Savelciet 2x un 2x, lai iegūtu 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Pievienot 1 abās pusēs.

$$3x^{2}+4x=6+1$$

Saskaitiet 6 un 1, lai iegūtu 7.

$$3x^{2}+4x=7$$

Daliet abas puses ar 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{7}{3}$$

Dalīšana ar 3 atsauc reizināšanu ar 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{7}{3}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{4}{3} ar 2, lai iegūtu \frac{2}{3}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{2}{3} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{2}{3}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{7}{3}+\frac{4}{9}$$

Pieskaitiet \frac{7}{3} pie \frac{4}{9}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{25}{9}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{9}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{5}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$$

Atņemiet \frac{2}{3} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$