Atrisiniet x^2-2x-5<0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 5 < 0$$

Atrast x

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lai atrisinātu nevienādību, sadaliet reizinātājos kreiso pusi. Kvadrātisko polinomu var sadalīt reizinātājos, izmantojot transformāciju ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kur x_{1} un x_{2} ir kvadrātsaknes vienādojuma ax^{2}+bx+c=0 risinājumi.

$$x^{2}-2x-5=0$$

Visus formas ax^{2}+bx+c=0 vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātsaknes formulu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrātsaknes formulā aizstājiet a ar 1, b ar -2 un c ar -5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

Veiciet aprēķinus.

$$x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2}$$

Atrisiniet vienādojumu x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2}, ja ± ir pluss un ± ir mīnuss.

$$x=\sqrt{6}+1 x=1-\sqrt{6}$$

Pārrakstiet nevienādību, izmantojot iegūtos risinājumus.

$$\left(x-\left(\sqrt{6}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{6}\right)\right)<0$$

Lai reizinājums būtu negatīvs, vērtībām x-\left(\sqrt{6}+1\right) un x-\left(1-\sqrt{6}\right) ir jābūt ar pretējām zīmēm. Apsveriet gadījumu, kur vērtība x-\left(\sqrt{6}+1\right) ir pozitīva, bet vērtība x-\left(1-\sqrt{6}\right) ir negatīva.

$$x-\left(\sqrt{6}+1\right)>0 x-\left(1-\sqrt{6}\right)<0$$

Tas ir aplami jebkuram x.

$$x\in \emptyset$$

Apsveriet gadījumu, kur vērtība x-\left(1-\sqrt{6}\right) ir pozitīva, bet vērtība x-\left(\sqrt{6}+1\right) ir negatīva.

$$x-\left(1-\sqrt{6}\right)>0 x-\left(\sqrt{6}+1\right)<0$$

Risinājums, kas apmierina abas nevienādības, ir x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right).

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Galīgais risinājums ir iegūto risinājumu apvienojums.

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$