Atrisiniet x^2-2x-1leq0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 1 \leq 0$$

Atrast x

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lai atrisinātu nevienādību, sadaliet reizinātājos kreiso pusi. Kvadrātisko polinomu var sadalīt reizinātājos, izmantojot transformāciju ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kur x_{1} un x_{2} ir kvadrātsaknes vienādojuma ax^{2}+bx+c=0 risinājumi.

$$x^{2}-2x-1=0$$

Visus formas ax^{2}+bx+c=0 vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātsaknes formulu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrātsaknes formulā aizstājiet a ar 1, b ar -2 un c ar -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Veiciet aprēķinus.

$$x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}$$

Atrisiniet vienādojumu x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}, ja ± ir pluss un ± ir mīnuss.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$

Pārrakstiet nevienādību, izmantojot iegūtos risinājumus.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{2}\right)\right)\leq 0$$

Lai reizinājums būtu ≤0, vienai no vērtībām x-\left(\sqrt{2}+1\right) un x-\left(1-\sqrt{2}\right) ir jābūt ≥0, bet otrai ir jābūt ≤0. Apsveriet gadījumu, kad x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 un x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0.

$$x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0$$

Tas ir aplami jebkuram x.

$$x\in \emptyset$$

Apsveriet gadījumu, kad x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0 un x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0.

$$x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0$$

Risinājums, kas apmierina abas nevienādības, ir x\in \left[1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\right].

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

Galīgais risinājums ir iegūto risinājumu apvienojums.

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$