Atrisiniet x^2-2=11x-5/4

$$x ^ { 2 } - 2 = \frac { 11 x - 5 } { 4 }$$

Atrast x

$$x=-\frac{1}{4}=-0,25$$

$$x=3$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Reiziniet vienādojuma abas puses ar 4.

$$4x^{2}-8=11x-5$$

Atņemiet 11x no abām pusēm.

$$4x^{2}-8-11x=-5$$

Pievienot 5 abās pusēs.

$$4x^{2}-8-11x+5=0$$

Saskaitiet -8 un 5, lai iegūtu -3.

$$4x^{2}-3-11x=0$$

Pārkārtojiet polinomu, lai tas būtu standarta formā. Sakārtojiet locekļus secībā no lielākās līdz mazākajai pakāpei.

$$4x^{2}-11x-3=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, kreiso pusi sadaliet reizinātājos grupējot. Vispirms kreisā puse ir jāpārraksta kā 4x^{2}+ax+bx-3. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmu, kas ir jāatrisina.

$$a+b=-11 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretējas pazīmes. Tā kā a+b ir negatīvs, negatīvajam skaitlim ir lielāka absolūtā vērtība nekā pozitīvs. Uzskaitiet visus šos veselo skaitļu pārus, kas nodrošina produktu -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -11.

$$a=-12 b=1$$

Pārrakstiet 4x^{2}-11x-3 kā \left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right)$$

Iznesiet reizinātāju 4x pirms iekavām izteiksmē 4x^{2}-12x.

$$4x\left(x-3\right)+x-3$$

Iznesiet pirms iekavām kopīgo locekli x-3, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-3=0 un 4x+1=0.

$$x=3 x=-\frac{1}{4}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Reiziniet vienādojuma abas puses ar 4.

$$4x^{2}-8=11x-5$$

Atņemiet 11x no abām pusēm.

$$4x^{2}-8-11x=-5$$

Pievienot 5 abās pusēs.

$$4x^{2}-8-11x+5=0$$

Saskaitiet -8 un 5, lai iegūtu -3.

$$4x^{2}-3-11x=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$4x^{2}-11x-3=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 4, b ar -11 un c ar -3.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Kāpiniet -11 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Reiziniet -4 reiz 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Reiziniet -16 reiz -3.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+48}}{2\times 4}$$

Pieskaitiet 121 pie 48.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{169}}{2\times 4}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 169.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±13}{2\times 4}$$

Skaitļa -11 pretstats ir 11.

$$x=\frac{11±13}{2\times 4}$$

Reiziniet 2 reiz 4.

$$x=\frac{11±13}{8}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{11±13}{8}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 11 pie 13.

$$x=\frac{24}{8}$$

Daliet 24 ar 8.

$$x=3$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{11±13}{8}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 13 no 11.

$$x=-\frac{2}{8}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-2}{8} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=3 x=-\frac{1}{4}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Reiziniet vienādojuma abas puses ar 4.

$$4x^{2}-8=11x-5$$

Atņemiet 11x no abām pusēm.

$$4x^{2}-8-11x=-5$$

Pievienot 8 abās pusēs.

$$4x^{2}-11x=-5+8$$

Saskaitiet -5 un 8, lai iegūtu 3.

$$4x^{2}-11x=3$$

Daliet abas puses ar 4.

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=\frac{3}{4}$$

Dalīšana ar 4 atsauc reizināšanu ar 4.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=\frac{3}{4}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{11}{4} ar 2, lai iegūtu -\frac{11}{8}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{11}{8} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{11}{8}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{3}{4}+\frac{121}{64}$$

Pieskaitiet \frac{3}{4} pie \frac{121}{64}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{169}{64}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. Parasti, kad x^{2}+bx+c ir pilns kvadrāts, to vienmēr to var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{13}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{13}{8}$$

Pieskaitiet \frac{11}{8} abās vienādojuma pusēs.

$$x=3 x=-\frac{1}{4}$$