Atrisiniet x^2-13x+42=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

Atrast x

$$x=6$$

$$x=7$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet reizinātājos x^{2}-13x+42, izmantojot formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmu, kas ir jāatrisina.

$$a+b=-13 ab=42$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir negatīvs, a un b ir negatīvs. Uzskaitiet visus šos veselo skaitļu pārus, kas nodrošina produktu 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -13.

$$a=-7 b=-6$$

Pārrakstiet reizinātājos sadalīto izteiksmi \left(x+a\right)\left(x+b\right), izmantojot iegūtās vērtības.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-7=0 un x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, kreiso pusi sadaliet reizinātājos grupējot. Vispirms kreisā puse ir jāpārraksta kā x^{2}+ax+bx+42. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmu, kas ir jāatrisina.

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir negatīvs, a un b ir negatīvs. Uzskaitiet visus šos veselo skaitļu pārus, kas nodrošina produktu 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -13.

$$a=-7 b=-6$$

Pārrakstiet x^{2}-13x+42 kā \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Iznesiet pirms iekavām reizinātāju x pirmajā grupā, bet -6 otrajā grupā.

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Iznesiet pirms iekavām kopīgo locekli x-7, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-7=0 un x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 1, b ar -13 un c ar 42.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

Kāpiniet -13 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

Reiziniet -4 reiz 42.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

Pieskaitiet 169 pie -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

Skaitļa -13 pretstats ir 13.

$$x=\frac{13±1}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{13±1}{2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 13 pie 1.

$$x=\frac{14}{2}$$

Daliet 14 ar 2.

$$x=7$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{13±1}{2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 1 no 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Daliet 12 ar 2.

$$x=6$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=7 x=6$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Atņemiet 42 no vienādojuma abām pusēm.

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

Atņemot 42 no sevis, paliek 0.

$$x^{2}-13x=-42$$

Daliet locekļa x koeficientu -13 ar 2, lai iegūtu -\frac{13}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{13}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{13}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Pieskaitiet -42 pie \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Parasti, kad x^{2}+bx+c ir pilns kvadrāts, to vienmēr to var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Pieskaitiet \frac{13}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$x=7 x=6$$