Atrisiniet x^2-11x=-28

$$x ^ { 2 } - 11 x = - 28$$

Atrast x

$$x=4$$

$$x=7$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos

Pievienot 28 abās pusēs.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet reizinātājos x^{2}-11x+28, izmantojot formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmu, kas ir jāatrisina.

$$a+b=-11 ab=28$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir negatīvs, a un b ir negatīvs. Uzskaitiet visus šos veselo skaitļu pārus, kas nodrošina produktu 28.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -11.

$$a=-7 b=-4$$

Pārrakstiet reizinātājos sadalīto izteiksmi \left(x+a\right)\left(x+b\right), izmantojot iegūtās vērtības.

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-7=0 un x-4=0.

$$x=7 x=4$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Pievienot 28 abās pusēs.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, kreiso pusi sadaliet reizinātājos grupējot. Vispirms kreisā puse ir jāpārraksta kā x^{2}+ax+bx+28. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmu, kas ir jāatrisina.

$$a+b=-11 ab=1\times 28=28$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir negatīvs, a un b ir negatīvs. Uzskaitiet visus šos veselo skaitļu pārus, kas nodrošina produktu 28.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -11.

$$a=-7 b=-4$$

Pārrakstiet x^{2}-11x+28 kā \left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right)$$

Iznesiet pirms iekavām reizinātāju x pirmajā grupā, bet -4 otrajā grupā.

$$x\left(x-7\right)-4\left(x-7\right)$$

Iznesiet pirms iekavām kopīgo locekli x-7, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-7=0 un x-4=0.

$$x=7 x=4$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$x^{2}-11x=-28$$

Pieskaitiet 28 abās vienādojuma pusēs.

$$x^{2}-11x-\left(-28\right)=-28-\left(-28\right)$$

Atņemot -28 no sevis, paliek 0.

$$x^{2}-11x-\left(-28\right)=0$$

Atņemiet -28 no 0.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 1, b ar -11 un c ar 28.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 28}}{2}$$

Kāpiniet -11 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 28}}{2}$$

Reiziniet -4 reiz 28.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-112}}{2}$$

Pieskaitiet 121 pie -112.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±3}{2}$$

Skaitļa -11 pretstats ir 11.

$$x=\frac{11±3}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{11±3}{2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 11 pie 3.

$$x=\frac{14}{2}$$

Daliet 14 ar 2.

$$x=7$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{11±3}{2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 3 no 11.

$$x=\frac{8}{2}$$

Daliet 8 ar 2.

$$x=4$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=7 x=4$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-11x=-28$$

Daliet locekļa x koeficientu -11 ar 2, lai iegūtu -\frac{11}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{11}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{11}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-28+\frac{121}{4}$$

Pieskaitiet -28 pie \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{9}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Parasti, kad x^{2}+bx+c ir pilns kvadrāts, to vienmēr to var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{3}{2}$$

Pieskaitiet \frac{11}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$x=7 x=4$$