Atrisiniet x^2-10x+90=0

$$x ^ { 2 } - 10 x + 90 = 0$$

Atrast x (complex solution)

$$x=5+\sqrt{65}i\approx 5+8,062257748i$$

$$x=-\sqrt{65}i+5\approx 5-8,062257748i$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$x^{2}-10x+90=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 1, b ar -10 un c ar 90.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 90}}{2}$$

Kāpiniet -10 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 90}}{2}$$

Reiziniet -4 reiz 90.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-360}}{2}$$

Pieskaitiet 100 pie -360.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-260}}{2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no -260.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{65}i}{2}$$

Skaitļa -10 pretstats ir 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 10 pie 2i\sqrt{65}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{65}i}{2}$$

Daliet 10+2i\sqrt{65} ar 2.

$$x=5+\sqrt{65}i$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 2i\sqrt{65} no 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{65}i+10}{2}$$

Daliet 10-2i\sqrt{65} ar 2.

$$x=-\sqrt{65}i+5$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=5+\sqrt{65}i x=-\sqrt{65}i+5$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-10x+90=0$$

Atņemiet 90 no vienādojuma abām pusēm.

$$x^{2}-10x+90-90=-90$$

Atņemot 90 no sevis, paliek 0.

$$x^{2}-10x=-90$$

Daliet locekļa x koeficientu -10 ar 2, lai iegūtu -5. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -5 kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-90+\left(-5\right)^{2}$$

Kāpiniet -5 kvadrātā.

$$x^{2}-10x+25=-90+25$$

Pieskaitiet -90 pie 25.

$$x^{2}-10x+25=-65$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-10x+25. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=-65$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{-65}$$

Vienkāršojiet.

$$x-5=\sqrt{65}i x-5=-\sqrt{65}i$$

Pieskaitiet 5 abās vienādojuma pusēs.

$$x=5+\sqrt{65}i x=-\sqrt{65}i+5$$