Atrisiniet x^2+7x-78=42

$$x ^ { 2 } + 7 x - 78 = 42$$

Atrast x

$$x=-15$$

$$x=8$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos

Atņemiet 42 no abām pusēm.

$$x^{2}+7x-78-42=0$$

Atņemiet 42 no -78, lai iegūtu -120.

$$x^{2}+7x-120=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, x^{2}+7x-120, izmantojot formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=7 ab=-120$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvam skaitlim ir lielāks absolūtā vērtība nekā negatīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 7.

$$a=-8 b=15$$

Pārrakstiet reizinātājos sadalīto izteiksmi \left(x+a\right)\left(x+b\right), izmantojot iegūtās vērtības.

$$\left(x-8\right)\left(x+15\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-8=0 un x+15=0.

$$x=8 x=-15$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Atņemiet 42 no abām pusēm.

$$x^{2}+7x-78-42=0$$

Atņemiet 42 no -78, lai iegūtu -120.

$$x^{2}+7x-120=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā x^{2}+ax+bx-120. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=7 ab=1\left(-120\right)=-120$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvam skaitlim ir lielāks absolūtā vērtība nekā negatīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 7.

$$a=-8 b=15$$

Pārrakstiet x^{2}+7x-120 kā \left(x^{2}-8x\right)+\left(15x-120\right).

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(15x-120\right)$$

Sadaliet x pirmo un 15 otrajā grupā.

$$x\left(x-8\right)+15\left(x-8\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju x-8 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-8\right)\left(x+15\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-8=0 un x+15=0.

$$x=8 x=-15$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$x^{2}+7x-78=42$$

Atņemiet 42 no vienādojuma abām pusēm.

$$x^{2}+7x-78-42=42-42$$

Atņemot 42 no sevis, paliek 0.

$$x^{2}+7x-78-42=0$$

Atņemiet 42 no -78.

$$x^{2}+7x-120=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 1, b ar 7 un c ar -120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-120\right)}}{2}$$

Kāpiniet 7 kvadrātā.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-120\right)}}{2}$$

Reiziniet -4 reiz -120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2}$$

Pieskaitiet 49 pie 480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 529.

$$x=\frac{-7±23}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-7±23}{2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -7 pie 23.

$$x=\frac{16}{2}$$

Daliet 16 ar 2.

$$x=8$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-7±23}{2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 23 no -7.

$$x=-\frac{30}{2}$$

Daliet -30 ar 2.

$$x=-15$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=8 x=-15$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+7x-78=42$$

Pieskaitiet 78 abās vienādojuma pusēs.

$$x^{2}+7x-78-\left(-78\right)=42-\left(-78\right)$$

Atņemot -78 no sevis, paliek 0.

$$x^{2}+7x=42-\left(-78\right)$$

Atņemiet -78 no 42.

$$x^{2}+7x=120$$

Daliet locekļa x koeficientu 7 ar 2, lai iegūtu \frac{7}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{7}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=120+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{7}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=120+\frac{49}{4}$$

Pieskaitiet 120 pie \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{529}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+7x+\frac{49}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{529}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{23}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{23}{2}$$

Atņemiet \frac{7}{2} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=8 x=-15$$