Atrisiniet x^2+25x=-84

$$x ^ { 2 } + 25 x = - 84$$

Atrast x

$$x=-21$$

$$x=-4$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos

Pievienot 84 abās pusēs.

$$x^{2}+25x+84=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, x^{2}+25x+84, izmantojot formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=25 ab=84$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir pozitīvs, a un b ir pozitīvas. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu 84.

$$1,84 2,42 3,28 4,21 6,14 7,12$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1+84=85 2+42=44 3+28=31 4+21=25 6+14=20 7+12=19$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 25.

$$a=4 b=21$$

Pārrakstiet reizinātājos sadalīto izteiksmi \left(x+a\right)\left(x+b\right), izmantojot iegūtās vērtības.

$$\left(x+4\right)\left(x+21\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x+4=0 un x+21=0.

$$x=-4 x=-21$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Pievienot 84 abās pusēs.

$$x^{2}+25x+84=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā x^{2}+ax+bx+84. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=25 ab=1\times 84=84$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir pozitīvs, a un b ir pozitīvas. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu 84.

$$1,84 2,42 3,28 4,21 6,14 7,12$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1+84=85 2+42=44 3+28=31 4+21=25 6+14=20 7+12=19$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 25.

$$a=4 b=21$$

Pārrakstiet x^{2}+25x+84 kā \left(x^{2}+4x\right)+\left(21x+84\right).

$$\left(x^{2}+4x\right)+\left(21x+84\right)$$

Sadaliet x pirmo un 21 otrajā grupā.

$$x\left(x+4\right)+21\left(x+4\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju x+4 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x+4\right)\left(x+21\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x+4=0 un x+21=0.

$$x=-4 x=-21$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$x^{2}+25x=-84$$

Pieskaitiet 84 abās vienādojuma pusēs.

$$x^{2}+25x-\left(-84\right)=-84-\left(-84\right)$$

Atņemot -84 no sevis, paliek 0.

$$x^{2}+25x-\left(-84\right)=0$$

Atņemiet -84 no 0.

$$x^{2}+25x+84=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 1, b ar 25 un c ar 84.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 84}}{2}$$

Kāpiniet 25 kvadrātā.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 84}}{2}$$

Reiziniet -4 reiz 84.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-336}}{2}$$

Pieskaitiet 625 pie -336.

$$x=\frac{-25±\sqrt{289}}{2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 289.

$$x=\frac{-25±17}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-25±17}{2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -25 pie 17.

$$x=-\frac{8}{2}$$

Daliet -8 ar 2.

$$x=-4$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-25±17}{2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 17 no -25.

$$x=-\frac{42}{2}$$

Daliet -42 ar 2.

$$x=-21$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=-4 x=-21$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+25x=-84$$

Daliet locekļa x koeficientu 25 ar 2, lai iegūtu \frac{25}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{25}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+25x+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}=-84+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{25}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=-84+\frac{625}{4}$$

Pieskaitiet -84 pie \frac{625}{4}.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=\frac{289}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+25x+\frac{625}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{25}{2}=\frac{17}{2} x+\frac{25}{2}=-\frac{17}{2}$$

Atņemiet \frac{25}{2} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=-4 x=-21$$