Atrisiniet x^2+16x-512=0

$$x ^ { 2 } + 16 x - 512 = 0$$

Atrast x

$$x=-32$$

$$x=16$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos

Lai atrisinātu vienādojumu, x^{2}+16x-512, izmantojot formulu x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=16 ab=-512$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvam skaitlim ir lielāks absolūtā vērtība nekā negatīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -512.

$$-1,512 -2,256 -4,128 -8,64 -16,32$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+512=511 -2+256=254 -4+128=124 -8+64=56 -16+32=16$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 16.

$$a=-16 b=32$$

Pārrakstiet reizinātājos sadalīto izteiksmi \left(x+a\right)\left(x+b\right), izmantojot iegūtās vērtības.

$$\left(x-16\right)\left(x+32\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-16=0 un x+32=0.

$$x=16 x=-32$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā x^{2}+ax+bx-512. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=16 ab=1\left(-512\right)=-512$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvam skaitlim ir lielāks absolūtā vērtība nekā negatīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -512.

$$-1,512 -2,256 -4,128 -8,64 -16,32$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+512=511 -2+256=254 -4+128=124 -8+64=56 -16+32=16$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 16.

$$a=-16 b=32$$

Pārrakstiet x^{2}+16x-512 kā \left(x^{2}-16x\right)+\left(32x-512\right).

$$\left(x^{2}-16x\right)+\left(32x-512\right)$$

Sadaliet x pirmo un 32 otrajā grupā.

$$x\left(x-16\right)+32\left(x-16\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju x-16 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-16\right)\left(x+32\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-16=0 un x+32=0.

$$x=16 x=-32$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$x^{2}+16x-512=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 1, b ar 16 un c ar -512.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-512\right)}}{2}$$

Kāpiniet 16 kvadrātā.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-512\right)}}{2}$$

Reiziniet -4 reiz -512.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+2048}}{2}$$

Pieskaitiet 256 pie 2048.

$$x=\frac{-16±\sqrt{2304}}{2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 2304.

$$x=\frac{-16±48}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-16±48}{2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -16 pie 48.

$$x=\frac{32}{2}$$

Daliet 32 ar 2.

$$x=16$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-16±48}{2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 48 no -16.

$$x=-\frac{64}{2}$$

Daliet -64 ar 2.

$$x=-32$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=16 x=-32$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+16x-512=0$$

Pieskaitiet 512 abās vienādojuma pusēs.

$$x^{2}+16x-512-\left(-512\right)=-\left(-512\right)$$

Atņemot -512 no sevis, paliek 0.

$$x^{2}+16x=-\left(-512\right)$$

Atņemiet -512 no 0.

$$x^{2}+16x=512$$

Daliet locekļa x koeficientu 16 ar 2, lai iegūtu 8. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet 8 kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+16x+8^{2}=512+8^{2}$$

Kāpiniet 8 kvadrātā.

$$x^{2}+16x+64=512+64$$

Pieskaitiet 512 pie 64.

$$x^{2}+16x+64=576$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+16x+64. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+8\right)^{2}=576$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+8\right)^{2}}=\sqrt{576}$$

Vienkāršojiet.

$$x+8=24 x+8=-24$$

Atņemiet 8 no vienādojuma abām pusēm.

$$x=16 x=-32$$