Atrisiniet x=-16x^2+75x+200

$$x = - 16 x ^ { 2 } + 75 x + 200$$

Atrast x

$$x = \frac{\sqrt{4569} + 37}{16} \approx 6,537148654$$

$$x=\frac{37-\sqrt{4569}}{16}\approx -1,912148654$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Pievienot 16x^{2} abās pusēs.

$$x+16x^{2}=75x+200$$

Atņemiet 75x no abām pusēm.

$$x+16x^{2}-75x=200$$

Savelciet x un -75x, lai iegūtu -74x.

$$-74x+16x^{2}=200$$

Atņemiet 200 no abām pusēm.

$$-74x+16x^{2}-200=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$16x^{2}-74x-200=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 16, b ar -74 un c ar -200.

$$x=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{\left(-74\right)^{2}-4\times 16\left(-200\right)}}{2\times 16}$$

Kāpiniet -74 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{5476-4\times 16\left(-200\right)}}{2\times 16}$$

Reiziniet -4 reiz 16.

$$x=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{5476-64\left(-200\right)}}{2\times 16}$$

Reiziniet -64 reiz -200.

$$x=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{5476+12800}}{2\times 16}$$

Pieskaitiet 5476 pie 12800.

$$x=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{18276}}{2\times 16}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 18276.

$$x=\frac{-\left(-74\right)±2\sqrt{4569}}{2\times 16}$$

Skaitļa -74 pretstats ir 74.

$$x=\frac{74±2\sqrt{4569}}{2\times 16}$$

Reiziniet 2 reiz 16.

$$x=\frac{74±2\sqrt{4569}}{32}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{74±2\sqrt{4569}}{32}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 74 pie 2\sqrt{4569}.

$$x=\frac{2\sqrt{4569}+74}{32}$$

Daliet 74+2\sqrt{4569} ar 32.

$$x=\frac{\sqrt{4569}+37}{16}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{74±2\sqrt{4569}}{32}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 2\sqrt{4569} no 74.

$$x=\frac{74-2\sqrt{4569}}{32}$$

Daliet 74-2\sqrt{4569} ar 32.

$$x=\frac{37-\sqrt{4569}}{16}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{\sqrt{4569}+37}{16} x=\frac{37-\sqrt{4569}}{16}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Pievienot 16x^{2} abās pusēs.

$$x+16x^{2}=75x+200$$

Atņemiet 75x no abām pusēm.

$$x+16x^{2}-75x=200$$

Savelciet x un -75x, lai iegūtu -74x.

$$-74x+16x^{2}=200$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-74x=200$$

Daliet abas puses ar 16.

$$\frac{16x^{2}-74x}{16}=\frac{200}{16}$$

Dalīšana ar 16 atsauc reizināšanu ar 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{74}{16}\right)x=\frac{200}{16}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-74}{16} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x^{2}-\frac{37}{8}x=\frac{200}{16}$$

Vienādot daļskaitli \frac{200}{16} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 8.

$$x^{2}-\frac{37}{8}x=\frac{25}{2}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{37}{8} ar 2, lai iegūtu -\frac{37}{16}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{37}{16} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{37}{8}x+\left(-\frac{37}{16}\right)^{2}=\frac{25}{2}+\left(-\frac{37}{16}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{37}{16}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{37}{8}x+\frac{1369}{256}=\frac{25}{2}+\frac{1369}{256}$$

Pieskaitiet \frac{25}{2} pie \frac{1369}{256}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{37}{8}x+\frac{1369}{256}=\frac{4569}{256}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{37}{8}x+\frac{1369}{256}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{37}{16}\right)^{2}=\frac{4569}{256}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{37}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4569}{256}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{37}{16}=\frac{\sqrt{4569}}{16} x-\frac{37}{16}=-\frac{\sqrt{4569}}{16}$$

Pieskaitiet \frac{37}{16} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{\sqrt{4569}+37}{16} x=\frac{37-\sqrt{4569}}{16}$$