Atrisiniet x+3y=6;5x-2y=13

$$x + 3 y = 6 ; 5 x - 2 y = 13$$

Atrast x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$x+3y=6$$

Atņemiet 3y no vienādojuma abām pusēm.

$$x=-3y+6$$

Ar -3y+6 aizvietojiet x otrā vienādojumā 5x-2y=13.

$$5\left(-3y+6\right)-2y=13$$

Reiziniet 5 reiz -3y+6.

$$-15y+30-2y=13$$

Pieskaitiet -15y pie -2y.

$$-17y+30=13$$

Atņemiet 30 no vienādojuma abām pusēm.

$$-17y=-17$$

Daliet abas puses ar -17.

$$y=1$$

Aizvietojiet y ar 1 vienādojumā x=-3y+6. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=-3+6$$

Pieskaitiet 6 pie -3.

$$x=3$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=3,y=1$$

Darbības, izmantojot matricas

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 5}&-\frac{3}{-2-3\times 5}\\-\frac{5}{-2-3\times 5}&\frac{1}{-2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{5}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 6+\frac{3}{17}\times 13\\\frac{5}{17}\times 6-\frac{1}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=3,y=1$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Lai vienādotu x un 5x, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar 5, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 1.

$$5x+5\times 3y=5\times 6,5x-2y=13$$

Vienkāršojiet.

$$5x+15y=30,5x-2y=13$$

Atņemiet 5x-2y=13 no 5x+15y=30 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$5x-5x+15y+2y=30-13$$

Pieskaitiet 5x pie -5x. Locekļus 5x un -5x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$15y+2y=30-13$$

Pieskaitiet 15y pie 2y.

$$17y=30-13$$

Pieskaitiet 30 pie -13.

$$17y=17$$

Daliet abas puses ar 17.

$$y=1$$

Aizvietojiet y ar 1 vienādojumā 5x-2y=13. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$5x-2=13$$

Pieskaitiet 2 abās vienādojuma pusēs.

$$5x=15$$

Daliet abas puses ar 5.

$$x=3$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=3,y=1$$